设随机变量X在区间[0,2]上服从均匀分布,则随机变量 =(X)^2 的概率密-|||-度函数 _(y)(y)= ), 0leqslant ylt 4 0, 其他 .A.对B.错

步骤 1：确定X的概率密度函数
随机变量X在区间[0,2]上服从均匀分布，因此其概率密度函数为：
$$
f_X(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
\frac{1}{2}, & 0 \leq x \leq 2 \\
0, & \text{其他}
\end{array}
\right.
$$
步骤 2：求Y的概率密度函数
随机变量 $Y = X^2$，我们需要求出Y的概率密度函数 $f_Y(y)$。首先，求出Y的累积分布函数 $F_Y(y)$，然后对 $F_Y(y)$ 求导得到 $f_Y(y)$。
$$
F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(X^2 \leq y) = P(-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y})
$$
由于X的取值范围是[0,2]，所以 $-\sqrt{y}$ 不在X的取值范围内，因此：
$$
F_Y(y) = P(0 \leq X \leq \sqrt{y}) = \int_{0}^{\sqrt{y}} f_X(x) dx = \int_{0}^{\sqrt{y}} \frac{1}{2} dx = \frac{\sqrt{y}}{2}
$$
对 $F_Y(y)$ 求导得到 $f_Y(y)$：
$$
f_Y(y) = \frac{d}{dy} F_Y(y) = \frac{d}{dy} \frac{\sqrt{y}}{2} = \frac{1}{4\sqrt{y}}
$$
步骤 3：确定Y的概率密度函数的取值范围
由于 $Y = X^2$，且X的取值范围是[0,2]，所以Y的取值范围是[0,4]。因此，Y的概率密度函数为：
$$
f_Y(y) = \left\{
\begin{array}{ll}
\frac{1}{4\sqrt{y}}, & 0 \leq y \leq 4 \\
0, & \text{其他}
\end{array}
\right.
$$