题目

设 X_1, X_2, ..., X_n 是独立同分布于 N(mu, sigma^2) 的随机变量, 算数平均值 (1)/(n) sum_(i=1)^n X_i (n geq 2), 则对于任意 varepsilon > 0, 都有(). A)P(|X - mu| < varepsilon) > P(|overline(X) - mu| < varepsilon) B)P(|X - mu| < varepsilon)< P(|overline(X) - mu| < varepsilon) C)P(|X - mu| < varepsilon)geq P(|overline(X) - mu| < varepsilon) D)P(|X - mu| < varepsilon)leq P(|overline(X) - mu| < varepsilon)

设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是独立同分布于 $N(\mu, \sigma^2)$ 的随机变量, 算数平均值 $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i (n \geq 2)$, 则对于任意 $\varepsilon > 0$, 都有().

A)$P(|X - \mu| < \varepsilon) > P(|\overline{X} - \mu| < \varepsilon)$

B)$P(|X - \mu| < \varepsilon)< P(|\overline{X} - \mu| < \varepsilon)$

C)$P(|X - \mu| < \varepsilon)\geq P(|\overline{X} - \mu| < \varepsilon)$

D)$P(|X - \mu| < \varepsilon)\leq P(|\overline{X} - \mu| < \varepsilon)$

题目解答

答案

为了解决这个问题，我们需要分析单个随机变量 $X_i$ 和随机变量 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 的算术平均值 $\overline{X}$ 与均值 $\mu$ 的偏差概率。 已知 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是独立同分布于 $N(\mu, \sigma^2)$ 的随机变量，算术平均值 $\overline{X}$ 由下式给出： \[ \overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \] 由于 $X_i$ 是正态分布的，$\overline{X}$ 也是正态分布的，均值为 $\mu$，方差为 $\frac{\sigma^2}{n}$。因此，$\overline{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$。 我们需要比较概率 $P(|X_i - \mu| < \varepsilon)$ 和 $P(|\overline{X} - \mu| < \varepsilon)$。 对于单个随机变量 $X_i$，概率为： \[ P(|X_i - \mu| < \varepsilon) = P\left(-\varepsilon < X_i - \mu < \varepsilon\right) = P\left(-\frac{\varepsilon}{\sigma} < \frac{X_i - \mu}{\sigma} < \frac{\varepsilon}{\sigma}\right) \] 由于 $\frac{X_i - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$，我们有： \[ P(|X_i - \mu| < \varepsilon) = \Phi\left(\frac{\varepsilon}{\sigma}\right) - \Phi\left(-\frac{\varepsilon}{\sigma}\right) = 2\Phi\left(\frac{\varepsilon}{\sigma}\right) - 1 \] 其中 $\Phi$ 是标准正态分布的累积分布函数。 对于算术平均值 $\overline{X}$，概率为： \[ P(|\overline{X} - \mu| < \varepsilon) = P\left(-\varepsilon < \overline{X} - \mu < \varepsilon\right) = P\left(-\frac{\varepsilon}{\sigma/\sqrt{n}} < \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} < \frac{\varepsilon}{\sigma/\sqrt{n}}\right) \] 由于 $\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0, 1)$，我们有： \[ P(|\overline{X} - \mu| < \varepsilon) = \Phi\left(\frac{\varepsilon\sqrt{n}}{\sigma}\right) - \Phi\left(-\frac{\varepsilon\sqrt{n}}{\sigma}\right) = 2\Phi\left(\frac{\varepsilon\sqrt{n}}{\sigma}\right) - 1 \] 由于 $\frac{\varepsilon\sqrt{n}}{\sigma} > \frac{\varepsilon}{\sigma}$ 对于 $n \geq 2$，可以得出： \[ \Phi\left(\frac{\varepsilon\sqrt{n}}{\sigma}\right) > \Phi\left(\frac{\varepsilon}{\sigma}\right) \] 因此： \[ 2\Phi\left(\frac{\varepsilon\sqrt{n}}{\sigma}\right) - 1 > 2\Phi\left(\frac{\varepsilon}{\sigma}\right) - 1 \] 这意味着： \[ P(|\overline{X} - \mu| < \varepsilon) > P(|X_i - \mu| < \varepsilon) \] 由于 $X_i$ 是 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 中的任意一个随机变量，我们可以得出结论： \[ P(|X - \mu| < \varepsilon) < P(|\overline{X} - \mu| < \varepsilon) \] 其中 $X$ 是 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 中的任意一个随机变量。 因此，正确答案是： \[ \boxed{B} \]

解析

本题考查正态分布的性质以及独立同分布随机变量的算术平均值的分布，解题思路是先确定单个随机变量和其算术平均值的分布，再分别计算它们与均值偏差在给定范围内的概率，最后比较这两个概率的大小。

  1. 确定$\overline{X}$的分布：
    已知$X_1, X_2, \cdots, X_n$是独立同分布于$N(\mu, \sigma^2)$的随机变量，算术平均值$\overline{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$。
    根据正态分布的性质：若$X_i\sim N(\mu, \sigma^2)$，$i = 1,2,\cdots,n$且相互独立，则$\sum_{i = 1}^{n}X_i\sim N(n\mu, n\sigma^2)$。
    对于$\overline{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$，其均值$E(\overline{X}) = E(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i)=\frac{1}{n}E(\sum_{i=1}^n X_i)=\frac{1}{n}\cdot n\mu=\mu$，方差$D(\overline{X}) = D(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i)=\frac{1}{n^2}D(\sum_{i=1}^n X_i)=\frac{1}{n^2}\cdot n\sigma^2=\frac{\sigma^2}{n}$。
    所以$\overline{X}\sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$。
  2. 计算$P(|X - \mu| < \varepsilon)$：
    对于单个随机变量$X\sim N(\mu, \sigma^2)$，$P(|X - \mu| < \varepsilon)=P(-\varepsilon < X - \mu < \varepsilon)$。
    令$Z=\frac{X - \mu}{\sigma}$，则$Z\sim N(0, 1)$，那么$P(-\varepsilon < X - \mu < \varepsilon)=P(-\frac{\varepsilon}{\sigma} < \frac{X - \mu}{\sigma} < \frac{\varepsilon}{\sigma})=P(-\frac{\varepsilon}{\sigma} < Z < \frac{\varepsilon}{\sigma})$。
    根据标准正态分布的累积分布函数$\Phi(z)$，可得$P(-\frac{\varepsilon}{\sigma} < Z < \frac{\varepsilon}{\sigma})=\Phi(\frac{\varepsilon}{\sigma}) - \Phi(-\frac{\varepsilon}{\sigma})$。
    又因为$\Phi(-z)=1 - \Phi(z)$，所以$\Phi(\frac{\varepsilon}{\sigma}) - \Phi(-\frac{\varepsilon}{\sigma})=\Phi(\frac{\varepsilon}{\sigma})-(1 - \Phi(\frac{\varepsilon}{\sigma})) = 2\Phi(\frac{\varepsilon}{\sigma}) - 1$。
  3. 计算$P(|\overline{X} - \mu| < \varepsilon)$：
    对于$\overline{X}\sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$，$P(|\overline{X} - \mu| < \varepsilon)=P(-\varepsilon < \overline{X} - \mu < \varepsilon)$。
    令$Z'=\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$，则$Z'\sim N(0, 1)$，那么$P(-\varepsilon < \overline{X} - \mu < \varepsilon)=P(-\frac{\varepsilon}{\sigma/\sqrt{n}} < \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} < \frac{\varepsilon}{\sigma/\sqrt{n}})=P(-\frac{\varepsilon\sqrt{n}}{\sigma} < Z' < \frac{\varepsilon\sqrt{n}}{\sigma})$。
    同理可得$P(-\frac{\varepsilon\sqrt{n}}{\sigma} < Z' < \frac{\varepsilon\sqrt{n}}{\sigma})=\Phi(\frac{\varepsilon\sqrt{n}}{\sigma}) - \Phi(-\frac{\varepsilon\sqrt{n}}{\sigma})=\Phi(\frac{\varepsilon\sqrt{n}}{\sigma})-(1 - \Phi(\frac{\varepsilon\sqrt{n}}{\sigma})) = 2\Phi(\frac{\varepsilon\sqrt{n}}{\sigma}) - 1$。
  4. 比较两个概率的大小：
    因为$n\geq 2$，所以$\frac{\varepsilon\sqrt{n}}{\sigma} > \frac{\varepsilon}{\sigma}$。
    而标准正态分布的累积分布函数$\Phi(z)$是单调递增函数，所以$\Phi(\frac{\varepsilon\sqrt{n}}{\sigma}) > \Phi(\frac{\varepsilon}{\sigma})$。
    则$2\Phi(\frac{\varepsilon\sqrt{n}}{\sigma}) - 1 > 2\Phi(\frac{\varepsilon}{\sigma}) - 1$，即$P(|\overline{X} - \mu| < \varepsilon) > P(|X - \mu| < \varepsilon)$。