题目
8.设X与Y是任意的两个随机变量，则以下选项正确的是（）. A.D(X±Y)=D(X)±D(Y) B.E(3Y+2)=9E(Y)+2 C.D(2X)=2D(X) D.COV(3X,2Y)=6COV(X,Y)
8.设X与Y是任意的两个随机变量，则以下选项正确的是（）.
A.D(X±Y)=D(X)±D(Y)
B.E(3Y+2)=9E(Y)+2
C.D(2X)=2D(X)
D.COV(3X,2Y)=6COV(X,Y)
A.D(X±Y)=D(X)±D(Y)
B.E(3Y+2)=9E(Y)+2
C.D(2X)=2D(X)
D.COV(3X,2Y)=6COV(X,Y)
题目解答
答案
为了确定正确的选项，我们需要使用随机变量的期望和方差的性质。让我们逐步分析每个选项。
**选项A: $D(X \pm Y) = D(X) \pm D(Y)$**
两个随机变量和或差的方差由下式给出：
\[D(X \pm Y) = D(X) + D(Y) \pm 2 \text{Cov}(X, Y)\]
其中 $\text{Cov}(X, Y)$ 是 $X$ 和 $Y$ 的协方差。如果 $X$ 和 $Y$ 是独立的，那么 $\text{Cov}(X, Y) = 0$，方差简化为：
\[D(X \pm Y) = D(X) + D(Y)\]
然而，没有独立性的假设，方差不是简单地 $D(X) \pm D(Y)$。因此，选项A是不正确的。
**选项B: $E(3Y + 2) = 9E(Y) + 2$**
随机变量的线性变换的期望由下式给出：
\[E(aX + b) = aE(X) + b\]
对于 $a = 3$ 和 $b = 2$，我们有：
\[E(3Y + 2) = 3E(Y) + 2\]
因此，选项B是不正确的。
**选项C: $D(2X) = 2D(X)$**
随机变量的线性变换的方差由下式给出：
\[D(aX) = a^2D(X)\]
对于 $a = 2$，我们有：
\[D(2X) = 4D(X)\]
因此，选项C是不正确的。
**选项D: $\text{Cov}(3X, 2Y) = 6 \text{Cov}(X, Y)$**
两个随机变量的线性变换的协方差由下式给出：
\[\text{Cov}(aX, bY) = ab \text{Cov}(X, Y)\]
对于 $a = 3$ 和 $b = 2$，我们有：
\[\text{Cov}(3X, 2Y) = 6 \text{Cov}(X, Y)\]
因此，选项D是正确的。
正确的选项是 $\boxed{D}$。
解析
本题主要考察随机变量的期望、方差及协方差的性质，需逐一分析各选项：
选项A分析
方差的性质：对于任意两个随机变量$X$和$Y$，有
$D(X \pm Y) = D(X) + D(Y) \pm 2\text{Cov}(X,Y)$
仅当$X$与$Y$独立时，$\text{Cov}(X,Y)=0$，方差才简化为$D(X)+D(Y)$。题目未限定独立性，因此$D(X \pm Y) \neq D(X) \pm D(Y)$，选项A错误。
选项B分析
期望的线性性质：对于任意常数$a,b$，有
$E(aX + b) = aE(X) + b$
题目中$a=3$，$b=2$，则$E(3Y + 2)=3E(Y) + 2$，而非$9E(Y)+2$选项B错误。
选项C分析
方差的性质：对于常数$a$，有
$D(aX) = a^2D(X)$
题目中$a=2$，则$D(2X)=2^2D(X)=4D(X) \neq 2D(X)$选项C错误。
选项D分析
协方差的性质：对于常数$a,b$，有
$\text{Cov}(aX, bY) = ab\text{Cov}(X,Y)$
题目中$a=3$，$b=2$，则$\text{Cov}(3X,2Y)=3 \times 2\text{Cov}(X,Y)=6\text{Cov}(X,Y)$选项D正确。