题目
如果X与Y不相关,则下列各式不正确的是(). A D(XY)=D(X)D(Y)B E(XY)=E(X)E(Y)C E([X-E(X)][Y-E(Y)]) =0D D(X-Y)=D(X)+D(Y)
如果X与Y不相关,则下列各式不正确的是().
A D(XY)=D(X)D(Y)
B E(XY)=E(X)E(Y)
C E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} =0
D D(X-Y)=D(X)+D(Y)
题目解答
答案
不相关：如果两个随机变量 X 和 Y 的协方差 Cov(X,Y)=0，则称 X 和 Y 不相关。
A. D(XY)=D(X)D(Y)
这个等式在 X 和 Y 独立时成立，但题目只说不相关，不相关并不等于独立。因此，这个等式不一定成立。
B. E(XY)=E(X)E(Y)
由于 X 和 Y 不相关，根据协方差的定义，有 Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)=0，从而 E(XY)=E(X)E(Y)。这个等式是正确的。
C. E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}=0
这实际上是协方差的定义，由于 X 和 Y 不相关，所以 Cov(X,Y)=0，即 E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}=0。这个等式是正确的。
D. D(X−Y)=D(X)+D(Y)
根据方差的性质，我们有 D(X−Y)=D(X)+D(Y)−2Cov(X,Y)。由于 X 和 Y 不相关，Cov(X,Y)=0，所以 D(X−Y)=D(X)+D(Y),该选项正确
故答案是：A
解析
步骤 1：理解不相关的定义
不相关：如果两个随机变量 X 和 Y 的协方差 Cov(X,Y)=0，则称 X 和 Y 不相关。
步骤 2：分析选项A
A. D(XY)=D(X)D(Y)
这个等式在 X 和 Y 独立时成立，但题目只说不相关，不相关并不等于独立。因此，这个等式不一定成立。
步骤 3：分析选项B
B. E(XY)=E(X)E(Y)
由于 X 和 Y 不相关，根据协方差的定义，有 Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)=0，从而 E(XY)=E(X)E(Y)。这个等式是正确的。
步骤 4：分析选项C
C. E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}=0
这实际上是协方差的定义，由于 X 和 Y 不相关，所以 Cov(X,Y)=0，即 E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}=0。这个等式是正确的。
步骤 5：分析选项D
D. D(X−Y)=D(X)+D(Y)
根据方差的性质，我们有 D(X−Y)=D(X)+D(Y)−2Cov(X,Y)。由于 X 和 Y 不相关，Cov(X,Y)=0，所以 D(X−Y)=D(X)+D(Y),该选项正确。
不相关：如果两个随机变量 X 和 Y 的协方差 Cov(X,Y)=0，则称 X 和 Y 不相关。
步骤 2：分析选项A
A. D(XY)=D(X)D(Y)
这个等式在 X 和 Y 独立时成立，但题目只说不相关，不相关并不等于独立。因此，这个等式不一定成立。
步骤 3：分析选项B
B. E(XY)=E(X)E(Y)
由于 X 和 Y 不相关，根据协方差的定义，有 Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)=0，从而 E(XY)=E(X)E(Y)。这个等式是正确的。
步骤 4：分析选项C
C. E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}=0
这实际上是协方差的定义，由于 X 和 Y 不相关，所以 Cov(X,Y)=0，即 E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}=0。这个等式是正确的。
步骤 5：分析选项D
D. D(X−Y)=D(X)+D(Y)
根据方差的性质，我们有 D(X−Y)=D(X)+D(Y)−2Cov(X,Y)。由于 X 和 Y 不相关，Cov(X,Y)=0，所以 D(X−Y)=D(X)+D(Y),该选项正确。