45. (1.5分)若随机变量X,Y的ρ_(XY)=0,则A. D(X+Y)=D(X)+D(Y)B. D(XY)=D(X)D(Y)C. X与Y互不相容D. X与Y相互独立

考查要点：本题主要考查随机变量相关系数为零时的性质，特别是方差的运算规则，以及相关性与独立性的关系。

解题核心思路：

1. 相关系数为零意味着随机变量$X$和$Y$无线性相关关系，即协方差$\text{Cov}(X,Y)=0$。
2. 根据方差的性质，$\text{D}(X+Y)=\text{D}(X)+\text{D}(Y)+2\text{Cov}(X,Y)$，当协方差为零时，公式简化为$\text{D}(X+Y)=\text{D}(X)+\text{D}(Y)$，对应选项A。
3. 零相关不等于独立，因此不能直接推出选项B、C、D的结论。

破题关键点：

• 明确相关系数为零的数学含义（协方差为零）。
• 区分零相关与独立性的关系（零相关仅排除线性关系，可能存在非线性相关）。

选项分析：

1. 选项A：
   由方差性质$\text{D}(X+Y)=\text{D}(X)+\text{D}(Y)+2\text{Cov}(X,Y)$，当$\text{Cov}(X,Y)=0$时，$\text{D}(X+Y)=\text{D}(X)+\text{D}(Y)$，成立。

2. 选项B：
   $\text{D}(XY)$的展开式为$\text{D}(X)\text{D}(Y)+\text{E}(X)^2\text{D}(Y)+\text{E}(Y)^2\text{D}(X)$，仅当$X$和$Y$独立时$\text{D}(XY)=\text{D}(X)\text{D}(Y)$。但零相关不保证独立性，不一定成立。

3. 选项C：
   “互不相容”通常指事件关系，与随机变量的相关性无关，错误。

4. 选项D：
   零相关仅说明无线性关系，可能存在非线性相关，因此不能推出独立性，错误。