4.单选题(4分)设0是方阵A的一个2重特征值，则其次线性方程组Ax=0A. 只有一个线性无关的解;B. 有两个线性无关的解;C. 有无穷多个解;D. 只有一个非零解。

本题考查方阵特征值与齐次线性方程组解的关系。解题的关键在于理解特征值的重数和齐次线性方程组解的性质之间的联系。

步骤一：明确齐次线性方程组解的情况与系数矩阵秩的关系

对于齐次线性方程组 $Ax = 0$，设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，根据线性代数的知识，其解空间的维数 $r$ 满足公式 $r=n - r(A)$，其中 $n$ 是未知数的个数（也就是矩阵 $A$ 的列数），$r(A)$ 是矩阵 $A$ 的秩。当 $r\gt{}0$ 时，方程组有无穷多个解；当 $r = 0$ 时，方程组只有零解。

步骤二：分析特征值重数与矩阵秩的关系

已知 $0$ 是方阵 $A$ 的一个 $2$ 重特征值。根据特征值的性质，矩阵 $A$ 的特征值的代数重数（即特征值作为特征方程根的重数）与几何重数（即对应特征子空间的维数）有如下关系：几何重数不超过代数重数。对于特征值 $0$，其几何重数就是齐次线性方程组 $Ax = 0$ 的解空间的维数 $r$，代数重数为 $2$，所以 $r\geqslant1$。

步骤三：确定方程组解的情况

因为 $r\geqslant1$，即解空间的维数大于 $0$，根据步骤一的结论，齐次线性方程组 $Ax = 0$ 有无穷多个解。