题目
设 X_1, X_2, X_3, X_4 是来自均值为 theta 的指数分布总体的样本，其中 theta 未知，则下列估计量中不是 theta 的无偏估计量的是()A. T_1 = (1)/(6)(X_1 + X_2)+ (1)/(3)(X_3 + X_4)B. T_2 = (1)/(5)(X_1 + 2X_2 + 3X_3 + 4X_4)C. T_3 = (1)/(4)(X_1 + X_2 + X_3 + X_4)D. T_4 = (1)/(2)X_1 + (1)/(4)X_2 + (1)/(8)X_3 + (1)/(8)X_4
设 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 是来自均值为 $\theta$ 的指数分布总体的样本，其中 $\theta$ 未知，则下列估计量中不是 $\theta$ 的无偏估计量的是()
A. $T_1 = \frac{1}{6}(X_1 + X_2)+ \frac{1}{3}(X_3 + X_4)$
B. $T_2 = \frac{1}{5}(X_1 + 2X_2 + 3X_3 + 4X_4)$
C. $T_3 = \frac{1}{4}(X_1 + X_2 + X_3 + X_4)$
D. $T_4 = \frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{4}X_2 + \frac{1}{8}X_3 + \frac{1}{8}X_4$
题目解答
答案
B. $T_2 = \frac{1}{5}(X_1 + 2X_2 + 3X_3 + 4X_4)$
解析
步骤 1：计算每个选项的期望值
对于每个选项，我们需要计算其期望值，并与 $\theta$ 比较，以确定其是否为无偏估计量。
步骤 2：计算选项 A 的期望值
$E(T_1) = E\left(\frac{1}{6}(X_1 + X_2) + \frac{1}{3}(X_3 + X_4)\right) = \frac{1}{6}E(X_1) + \frac{1}{6}E(X_2) + \frac{1}{3}E(X_3) + \frac{1}{3}E(X_4)$
由于 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 是来自均值为 $\theta$ 的指数分布总体的样本，所以 $E(X_i) = \theta$ 对于所有 $i$。
因此，$E(T_1) = \frac{1}{6}\theta + \frac{1}{6}\theta + \frac{1}{3}\theta + \frac{1}{3}\theta = \theta$，无偏。
步骤 3：计算选项 B 的期望值
$E(T_2) = E\left(\frac{1}{5}(X_1 + 2X_2 + 3X_3 + 4X_4)\right) = \frac{1}{5}E(X_1) + \frac{2}{5}E(X_2) + \frac{3}{5}E(X_3) + \frac{4}{5}E(X_4)$
因此，$E(T_2) = \frac{1}{5}\theta + \frac{2}{5}\theta + \frac{3}{5}\theta + \frac{4}{5}\theta = 2\theta$，有偏。
步骤 4：计算选项 C 的期望值
$E(T_3) = E\left(\frac{1}{4}(X_1 + X_2 + X_3 + X_4)\right) = \frac{1}{4}E(X_1) + \frac{1}{4}E(X_2) + \frac{1}{4}E(X_3) + \frac{1}{4}E(X_4)$
因此，$E(T_3) = \frac{1}{4}\theta + \frac{1}{4}\theta + \frac{1}{4}\theta + \frac{1}{4}\theta = \theta$，无偏。
步骤 5：计算选项 D 的期望值
$E(T_4) = E\left(\frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{4}X_2 + \frac{1}{8}X_3 + \frac{1}{8}X_4\right) = \frac{1}{2}E(X_1) + \frac{1}{4}E(X_2) + \frac{1}{8}E(X_3) + \frac{1}{8}E(X_4)$
因此，$E(T_4) = \frac{1}{2}\theta + \frac{1}{4}\theta + \frac{1}{8}\theta + \frac{1}{8}\theta = \theta$，无偏。
对于每个选项，我们需要计算其期望值，并与 $\theta$ 比较，以确定其是否为无偏估计量。
步骤 2：计算选项 A 的期望值
$E(T_1) = E\left(\frac{1}{6}(X_1 + X_2) + \frac{1}{3}(X_3 + X_4)\right) = \frac{1}{6}E(X_1) + \frac{1}{6}E(X_2) + \frac{1}{3}E(X_3) + \frac{1}{3}E(X_4)$
由于 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 是来自均值为 $\theta$ 的指数分布总体的样本，所以 $E(X_i) = \theta$ 对于所有 $i$。
因此，$E(T_1) = \frac{1}{6}\theta + \frac{1}{6}\theta + \frac{1}{3}\theta + \frac{1}{3}\theta = \theta$，无偏。
步骤 3：计算选项 B 的期望值
$E(T_2) = E\left(\frac{1}{5}(X_1 + 2X_2 + 3X_3 + 4X_4)\right) = \frac{1}{5}E(X_1) + \frac{2}{5}E(X_2) + \frac{3}{5}E(X_3) + \frac{4}{5}E(X_4)$
因此，$E(T_2) = \frac{1}{5}\theta + \frac{2}{5}\theta + \frac{3}{5}\theta + \frac{4}{5}\theta = 2\theta$，有偏。
步骤 4：计算选项 C 的期望值
$E(T_3) = E\left(\frac{1}{4}(X_1 + X_2 + X_3 + X_4)\right) = \frac{1}{4}E(X_1) + \frac{1}{4}E(X_2) + \frac{1}{4}E(X_3) + \frac{1}{4}E(X_4)$
因此，$E(T_3) = \frac{1}{4}\theta + \frac{1}{4}\theta + \frac{1}{4}\theta + \frac{1}{4}\theta = \theta$，无偏。
步骤 5：计算选项 D 的期望值
$E(T_4) = E\left(\frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{4}X_2 + \frac{1}{8}X_3 + \frac{1}{8}X_4\right) = \frac{1}{2}E(X_1) + \frac{1}{4}E(X_2) + \frac{1}{8}E(X_3) + \frac{1}{8}E(X_4)$
因此，$E(T_4) = \frac{1}{2}\theta + \frac{1}{4}\theta + \frac{1}{8}\theta + \frac{1}{8}\theta = \theta$，无偏。