15. (4.0分) 在随机事件A,B,C中，A和B两事件至少有一个发生而C事件不发生的随机事件可表示为()。A. Aoverline(C) cup Boverline(C)B. Aoverline(B)CC. A.cup B.cup overline(C.)D. Aoverline(B)C cup overline(A)BC cup overline(A)ABC

本题考查随机事件的表示，解题的关键在于准确理解题目中事件发生的条件，并运用事件的运算规则将其转化为数学表达式。

1. 分析“A和B两事件至少有一个发生”：
   • 在概率论中，“至少有一个发生”意味着A发生或者B发生，这可以用并集运算来表示。
   • 所以“A和B两事件至少有一个发生”可表示为 $A \cup B$。
2. 分析“C事件不发生”：
   • 事件不发生可以用该事件的对立事件来表示。
   • 所以“C事件不发生”可表示为 $\overline{C}$。
3. 将两个条件结合：
   • 题目要求的是“A和B两事件至少有一个发生”与“C事件不发生”这两个条件同时满足，在概率论中，“同时满足”用交集运算来表示。
   • 因此，该随机事件可表示为 $(A \cup B) \cap \overline{C}$。
   • 根据集合的分配律 $(A \cup B) \cap \overline{C}=(A \cap \overline{C}) \cup (B \cap \overline{C})$，通常简记为 $A\overline{C} \cup B\overline{C}$。
4. 分析各个选项：
   • 选项A：$A\overline{C} \cup B\overline{C}$，与我们推导的结果一致，该选项正确。
   • 选项B：$A\overline{B}C$，表示A发生、B不发生且C发生，与题目要求的“A和B至少一个发生且C不发生”不符，该选项错误。
   • 选项C：$A \cup B \cup \overline{C}$，表示A发生或者B发生或者C不发生，范围比题目要求的大，该选项错误。
   • 选项D：$A\overline{B}C \cup \overline{A}BC \cup \overline{A}\overline{B}C$，表示A和B中仅一个发生且C发生，与题目要求不符，该选项错误。