题目
1.（简答题）1.某公司生产的一种电子元件，其使用寿命服从正态分布。为了估计这种电子元件的平均使用寿命，从中随机抽取了25个样品进行测试，得到样本均值为2000小时，样本标准差为100小时。假设总体标准差已知为120小时，计划在95%置信水平下，这种电子元件平均使用寿命的置信区间。((Z_{0.025)}=1.96，(Z_{0.05)}=1.645)
1.（简答题）
1.某公司生产的一种电子元件，其使用寿命服从正态分布。为了估计这种电子元件的平均使用寿命，从中随机抽取了25个样品进行测试，得到样本均值为2000小时，样本标准差为100小时。假设总体标准差已知为120小时，计划在95%置信水平下，这种电子元件平均使用寿命的置信区间。(${Z_{0.025}}=1.96$，${Z_{0.05}}=1.645$)
题目解答
答案
为了在95%置信水平下估计这种电子元件的平均使用寿命的置信区间，我们可以使用以下公式来计算置信区间：
\[
\bar{x} \pm Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
\]
其中：
- $\bar{x}$ 是样本均值，为2000小时。
- $Z_{\alpha/2}$ 是标准正态分布的临界值，对于95%的置信水平，$\alpha = 0.05$，所以 $\alpha/2 = 0.025$，对应的 $Z_{0.025} = 1.96$。
- $\sigma$ 是总体标准差，为120小时。
- $n$ 是样本大小，为25。
将这些值代入公式中，我们得到：
\[
2000 \pm 1.96 \cdot \frac{120}{\sqrt{25}}
\]
首先，计算 $\frac{120}{\sqrt{25}}$：
\[
\frac{120}{\sqrt{25}} = \frac{120}{5} = 24
\]
然后，计算 $1.96 \cdot 24$：
\[
1.96 \cdot 24 = 47.04
\]
因此，置信区间为：
\[
2000 \pm 47.04
\]
这表示置信区间的下限为：
\[
2000 - 47.04 = 1952.96
\]
置信区间的上限为：
\[
2000 + 47.04 = 2047.04
\]
所以，95%置信水平下，这种电子元件平均使用寿命的置信区间为：
\[
\boxed{(1952.96, 2047.04)}
\]
解析
考查要点：本题主要考查正态分布下总体均值的置信区间估计，重点在于正确选择统计量及计算步骤。
解题核心思路：
- 确定适用公式：由于总体标准差已知且总体服从正态分布，直接使用Z分布构造置信区间。
- 确定临界值：根据95%的置信水平，选择双侧检验的临界值$Z_{0.025}=1.96$。
- 代入公式计算：通过样本均值、总体标准差、样本量计算标准误差，最终得到置信区间。
破题关键点：
- 区分总体标准差与样本标准差：题目明确给出总体标准差$\sigma=120$，因此直接使用该值，无需考虑样本标准差。
- 正确选择Z值：95%置信水平对应$\alpha=0.05$，临界值为$Z_{0.025}=1.96$。
公式选择：
置信区间公式为：
$\bar{x} \pm Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
参数代入：
- 样本均值$\bar{x}=2000$小时
- 总体标准差$\sigma=120$小时
- 样本量$n=25$
- 临界值$Z_{0.025}=1.96$
计算步骤：
- 计算标准误差：
$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{120}{\sqrt{25}} = \frac{120}{5} = 24$ - 计算边际误差：
$Z_{0.025} \cdot \text{标准误差} = 1.96 \cdot 24 = 47.04$ - 确定置信区间：
$2000 \pm 47.04 \quad \Rightarrow \quad (1952.96, 2047.04)$