题目
4.设(X_(1),...,X_(n))为从正态总体N(μ，1)中抽取的样本。在显著性水平α下检验H_(0):mu=0;H_(1):muneq0。取拒绝域W为((X_{1),...,X_(n)):sqrt(n)|overline(X)|>mu_(1-(alpha)/(2))}，试求当μ=1时，所犯的第Ⅱ类错误的概率。
4.设$(X_{1},\cdots,X_{n})$为从正态总体N(μ，1)中抽取的样本。在显著性水平α下检验$H_{0}:\mu=0;H_{1}:\mu\neq0$。取拒绝域W为{$(X_{1},\cdots,X_{n}):\sqrt{n}|\overline{X}|>\mu_{1-\frac{\alpha}{2}}$}，试求当μ=1时，所犯的第Ⅱ类错误的概率。
题目解答
答案
当 $\mu = 1$ 时，样本均值 $\overline{X}$ 服从 $N(1, \frac{1}{n})$。非拒绝域为：
\[
-\mu_{1-\frac{\alpha}{2}} \leq \sqrt{n} \overline{X} \leq \mu_{1-\frac{\alpha}{2}}
\]
令 $Z = \sqrt{n}(\overline{X} - 1) \sim N(0, 1)$，转换得：
\[
-\mu_{1-\frac{\alpha}{2}} - \sqrt{n} \leq Z \leq \mu_{1-\frac{\alpha}{2}} - \sqrt{n}
\]
第Ⅱ类错误概率为：
\[
\beta = \Phi\left(\mu_{\frac{\alpha}{2}} - \sqrt{n}\right) - \Phi\left(-\mu_{\frac{\alpha}{2}} - \sqrt{n}\right)
\]
或
\[
\boxed{\Phi\left(\mu_{\frac{\alpha}{2}} - \sqrt{n}\right) + \Phi\left(\mu_{\frac{\alpha}{2}} + \sqrt{n}\right) - 1}
\]
解析
步骤 1：确定样本均值的分布
当 $\mu = 1$ 时，样本均值 $\overline{X}$ 服从 $N(1, \frac{1}{n})$。这是因为样本均值 $\overline{X}$ 的期望值为总体均值 $\mu$，方差为总体方差 $\sigma^2$ 除以样本量 $n$，即 $\frac{\sigma^2}{n}$。由于总体方差 $\sigma^2 = 1$，所以样本均值 $\overline{X}$ 的方差为 $\frac{1}{n}$。
步骤 2：确定非拒绝域
非拒绝域为：\[ -\mu_{1-\frac{\alpha}{2}} \leq \sqrt{n} \overline{X} \leq \mu_{1-\frac{\alpha}{2}} \] 其中，$\mu_{1-\frac{\alpha}{2}}$ 是标准正态分布的 $1-\frac{\alpha}{2}$ 分位数，即标准正态分布的累积分布函数值为 $1-\frac{\alpha}{2}$ 时对应的 $z$ 值。
步骤 3：转换到标准正态分布
令 $Z = \sqrt{n}(\overline{X} - 1) \sim N(0, 1)$，则非拒绝域可以转换为：\[ -\mu_{1-\frac{\alpha}{2}} - \sqrt{n} \leq Z \leq \mu_{1-\frac{\alpha}{2}} - \sqrt{n} \]
步骤 4：计算第Ⅱ类错误概率
第Ⅱ类错误概率为：\[ \beta = \Phi\left(\mu_{\frac{\alpha}{2}} - \sqrt{n}\right) - \Phi\left(-\mu_{\frac{\alpha}{2}} - \sqrt{n}\right) \] 或 \[ \beta = \Phi\left(\mu_{\frac{\alpha}{2}} - \sqrt{n}\right) + \Phi\left(\mu_{\frac{\alpha}{2}} + \sqrt{n}\right) - 1 \] 其中，$\Phi$ 是标准正态分布的累积分布函数。
当 $\mu = 1$ 时，样本均值 $\overline{X}$ 服从 $N(1, \frac{1}{n})$。这是因为样本均值 $\overline{X}$ 的期望值为总体均值 $\mu$，方差为总体方差 $\sigma^2$ 除以样本量 $n$，即 $\frac{\sigma^2}{n}$。由于总体方差 $\sigma^2 = 1$，所以样本均值 $\overline{X}$ 的方差为 $\frac{1}{n}$。
步骤 2：确定非拒绝域
非拒绝域为：\[ -\mu_{1-\frac{\alpha}{2}} \leq \sqrt{n} \overline{X} \leq \mu_{1-\frac{\alpha}{2}} \] 其中，$\mu_{1-\frac{\alpha}{2}}$ 是标准正态分布的 $1-\frac{\alpha}{2}$ 分位数，即标准正态分布的累积分布函数值为 $1-\frac{\alpha}{2}$ 时对应的 $z$ 值。
步骤 3：转换到标准正态分布
令 $Z = \sqrt{n}(\overline{X} - 1) \sim N(0, 1)$，则非拒绝域可以转换为：\[ -\mu_{1-\frac{\alpha}{2}} - \sqrt{n} \leq Z \leq \mu_{1-\frac{\alpha}{2}} - \sqrt{n} \]
步骤 4：计算第Ⅱ类错误概率
第Ⅱ类错误概率为：\[ \beta = \Phi\left(\mu_{\frac{\alpha}{2}} - \sqrt{n}\right) - \Phi\left(-\mu_{\frac{\alpha}{2}} - \sqrt{n}\right) \] 或 \[ \beta = \Phi\left(\mu_{\frac{\alpha}{2}} - \sqrt{n}\right) + \Phi\left(\mu_{\frac{\alpha}{2}} + \sqrt{n}\right) - 1 \] 其中，$\Phi$ 是标准正态分布的累积分布函数。