5.必答[单选题] 已知 D=| matrix (1&x&3 cr 2&2&-1 cr 1&-1&2)|, 则D中x的系数是( ).A. 1B. -1C. 5D. -5

考查要点：本题主要考查三阶行列式的展开方法，特别是元素代数余子式的计算，以及如何确定特定变量的系数。

解题核心思路：

1. 按第一行展开行列式，利用余子式展开式，将三阶行列式分解为三个二阶行列式的组合。
2. 逐项计算每个元素对应的余子式，并注意符号的正负。
3. 提取含x的项，确定其系数。

破题关键点：

• 正确展开行列式，尤其注意符号的交替规律（+、-、+）。
• 准确计算二阶行列式的值，避免计算错误。
• 合并同类项后，明确x的系数。

将行列式 $D = \begin{vmatrix} 1 & x & 3 \\ 2 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix}$ 按第一行展开：

$D = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} - x \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}$

计算二阶行列式：

1. 第一个余子式：
   $\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = (2)(2) - (-1)(-1) = 4 - 1 = 3$

2. 第二个余子式：
   $\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (2)(2) - (-1)(1) = 4 + 1 = 5$

3. 第三个余子式：
   $\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (2)(-1) - (2)(1) = -2 - 2 = -4$

代入展开式：
$D = 1 \cdot 3 - x \cdot 5 + 3 \cdot (-4) = 3 - 5x - 12 = -5x - 9$

结论：x 的系数为 $-5$。