题目
int x f(x), dx = x^3 + (1)/(2) x^2 + C，则 int (1)/(f(x)), dx = _ A. (1)/(3)ln |3x+1| + C B. ln |3x+1| + C C. (1)/(2)ln |2x+3| + C D. ln |2x+3| + C
$$ $\int x f(x)\, dx = x^{3}\ \ + \frac{1}{2}\ \ x^{2}\ \ + C$，则 $\int \frac{1}{f(x)}\, dx = \\_ $
A. $$ $\frac{1}{3}\ln |3x+1| + C$ $$
B. $$ $\ln |3x+1| + C$ $$
C. $$ $\frac{1}{2}\ln |2x+3| + C$ $$
D. $$ $\ln |2x+3| + C$ $$
题目解答
答案
A. $$ $\frac{1}{3}\ln |3x+1| + C$ $$
解析
步骤 1：确定 $f(x)$ 的表达式
根据题目给出的积分 $\int x f(x)\, dx = x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C$，我们可以通过求导来确定 $f(x)$ 的表达式。对等式右边求导，得到 $f(x)$ 的表达式。
步骤 2：求导
对 $x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C$ 求导，得到 $3x^{2} + x$，因此 $f(x) = 3x + 1$。
步骤 3：计算 $\int \frac{1}{f(x)}\, dx$
现在我们已知 $f(x) = 3x + 1$，所以 $\int \frac{1}{f(x)}\, dx = \int \frac{1}{3x + 1}\, dx$。这是一个标准的积分形式，其结果为 $\frac{1}{3}\ln |3x + 1| + C$。
根据题目给出的积分 $\int x f(x)\, dx = x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C$，我们可以通过求导来确定 $f(x)$ 的表达式。对等式右边求导，得到 $f(x)$ 的表达式。
步骤 2：求导
对 $x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C$ 求导，得到 $3x^{2} + x$，因此 $f(x) = 3x + 1$。
步骤 3：计算 $\int \frac{1}{f(x)}\, dx$
现在我们已知 $f(x) = 3x + 1$，所以 $\int \frac{1}{f(x)}\, dx = \int \frac{1}{3x + 1}\, dx$。这是一个标准的积分形式，其结果为 $\frac{1}{3}\ln |3x + 1| + C$。