题目
例3 设总体X服从参数为θ的指数分布，概率密度f(x;theta)=}(1)/(theta)e^-(x)/(theta),&x>0,0,&其他.其中参数θ>0，又设X_(1),X_(2),...,X_(n)是来自总体X的样本，试证X和nZ=n[min(X_(1),X_(2),...,X_(n))]都是θ的无偏估计.
例3 设总体X服从参数为θ的指数分布，概率密度
$f(x;\theta)=\begin{cases}\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}},&x>0,\\0,&其他.\end{cases}$
其中参数θ>0，又设$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是来自总体X的样本，试证X和$nZ=n[min(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n})]$都是θ的无偏估计.
题目解答
答案
1. **计算样本均值 $\overline{X}$ 的期望：**
指数分布的期望 $E(X) = \theta$，样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$，
故 $E(\overline{X}) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i) = \theta$，
**结论：** $\overline{X}$ 是 $\theta$ 的无偏估计。
2. **计算最小次序统计量 $Z = \min(X_1, X_2, \cdots, X_n)$ 的期望：**
$Z$ 的分布函数 $F_Z(z) = 1 - e^{-\frac{nz}{\theta}}$，
概率密度 $f_Z(z) = \frac{n}{\theta} e^{-\frac{nz}{\theta}}$，
$E(Z) = \int_0^\infty z \cdot \frac{n}{\theta} e^{-\frac{nz}{\theta}} \, dz = \frac{\theta}{n}$，
**结论：** $E(nZ) = n \cdot \frac{\theta}{n} = \theta$，
$nZ$ 是 $\theta$ 的无偏估计。
**答案：**
$\boxed{\overline{X} \text{ 和 } n \min(X_1, X_2, \cdots, X_n) \text{ 都是 } \theta \text{ 的无偏估计}}$
解析
步骤 1：计算样本均值 $\overline{X}$ 的期望
指数分布的期望 $E(X) = \theta$，样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$， 故 $E(\overline{X}) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i) = \theta$，因此 $\overline{X}$ 是 $\theta$ 的无偏估计。
步骤 2：计算最小次序统计量 $Z = \min(X_1, X_2, \cdots, X_n)$ 的期望
$Z$ 的分布函数 $F_Z(z) = 1 - e^{-\frac{nz}{\theta}}$， 概率密度 $f_Z(z) = \frac{n}{\theta} e^{-\frac{nz}{\theta}}$， $E(Z) = \int_0^\infty z \cdot \frac{n}{\theta} e^{-\frac{nz}{\theta}} \, dz = \frac{\theta}{n}$，因此 $E(nZ) = n \cdot \frac{\theta}{n} = \theta$，$nZ$ 是 $\theta$ 的无偏估计。
指数分布的期望 $E(X) = \theta$，样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$， 故 $E(\overline{X}) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i) = \theta$，因此 $\overline{X}$ 是 $\theta$ 的无偏估计。
步骤 2：计算最小次序统计量 $Z = \min(X_1, X_2, \cdots, X_n)$ 的期望
$Z$ 的分布函数 $F_Z(z) = 1 - e^{-\frac{nz}{\theta}}$， 概率密度 $f_Z(z) = \frac{n}{\theta} e^{-\frac{nz}{\theta}}$， $E(Z) = \int_0^\infty z \cdot \frac{n}{\theta} e^{-\frac{nz}{\theta}} \, dz = \frac{\theta}{n}$，因此 $E(nZ) = n \cdot \frac{\theta}{n} = \theta$，$nZ$ 是 $\theta$ 的无偏估计。