题目
设随机变量 X sim N(3, sigma^2), (sigma > 0)，记 P3 A. 0.9B. 0.1C. 0.5D. 0.4
设随机变量 $X \sim N(3, \sigma^2)$, ($\sigma > 0$)，记 $P\{3 < X < 6\} = 0.4$，则 $P\{X < 0\} = (\quad)$
A. 0.9
B. 0.1
C. 0.5
D. 0.4
题目解答
答案
B. 0.1
解析
步骤 1：理解正态分布的性质
正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$ 关于其均值 $\mu$ 对称。已知 $X \sim N(3, \sigma^2)$，均值 $\mu$ 是3。因此，正态分布曲线关于 $X=3$ 对称。
步骤 2：利用对称性计算 $P\{0 < X < 3\}$
已知 $P\{3 < X < 6\} = 0.4$。由于正态分布关于均值对称，概率 $P\{0 < X < 3\}$ 与 $P\{3 < X < 6\}$ 相同。因此，我们有：\[P\{0 < X < 3\} = 0.4.\]
步骤 3：计算 $P\{X < 0\}$
正态分布曲线下的总概率是1。$X$ 小于均值（即3）的概率是0.5，因为正态分布是对称的。因此，我们可以将概率 $P\{X < 0\}$ 写为：\[P\{X < 0\} = P\{X < 3\} - P\{0 < X < 3\}.\] 由于 $P\{X < 3\} = 0.5$，我们将已知值代入：\[P\{X < 0\} = 0.5 - 0.4 = 0.1.\]
正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$ 关于其均值 $\mu$ 对称。已知 $X \sim N(3, \sigma^2)$，均值 $\mu$ 是3。因此，正态分布曲线关于 $X=3$ 对称。
步骤 2：利用对称性计算 $P\{0 < X < 3\}$
已知 $P\{3 < X < 6\} = 0.4$。由于正态分布关于均值对称，概率 $P\{0 < X < 3\}$ 与 $P\{3 < X < 6\}$ 相同。因此，我们有：\[P\{0 < X < 3\} = 0.4.\]
步骤 3：计算 $P\{X < 0\}$
正态分布曲线下的总概率是1。$X$ 小于均值（即3）的概率是0.5，因为正态分布是对称的。因此，我们可以将概率 $P\{X < 0\}$ 写为：\[P\{X < 0\} = P\{X < 3\} - P\{0 < X < 3\}.\] 由于 $P\{X < 3\} = 0.5$，我们将已知值代入：\[P\{X < 0\} = 0.5 - 0.4 = 0.1.\]