题目
8.2 有一种元件，要求其使用寿命不得低于700小时。现从一批这种元件中随机抽取36件，测得其平均寿命为680小时。已知该元件寿命服从正态分布，σ=60小时，试在显著性水平0.05下确定这批元件是否合格。
8.2 有一种元件，要求其使用寿命不得低于700小时。现从一批这种元件中随机抽取36件，测得其平均寿命为680小时。已知该元件寿命服从正态分布，σ=60小时，试在显著性水平0.05下确定这批元件是否合格。
题目解答
答案
为了确定这批元件是否合格，我们需要进行假设检验。具体步骤如下：
1. **建立假设**:
- 原假设 $ H_0 $: 元件的平均寿命 $\mu \geq 700$ 小时 (这批元件合格)
- 备择假设 $ H_1 $: 元件的平均寿命 $\mu < 700$ 小时 (这批元件不合格)
2. **确定显著性水平**:
- 显著性水平 $\alpha = 0.05$
3. **选择检验统计量**:
- 由于总体标准差 $\sigma$ 已知，且样本量 $n = 36$ 较大，使用 Z 检验。
4. **计算检验统计量**:
- 样本平均寿命 $\bar{X} = 680$ 小时
- 总体标准差 $\sigma = 60$ 小时
- 样本量 $n = 36$
- 检验统计量 $Z$ 的计算公式为:
\[
Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}
\]
其中 $\mu_0 = 700$ 小时。代入数据得:
\[
Z = \frac{680 - 700}{60 / \sqrt{36}} = \frac{-20}{60 / 6} = \frac{-20}{10} = -2
\]
5. **确定临界值**:
- 这是一个单侧检验（左尾检验），在 $\alpha = 0.05$ 时，临界值 $Z_{\alpha} = -1.645$。
6. **比较检验统计量与临界值**:
- 检验统计量 $Z = -2$
- 临界值 $Z_{\alpha} = -1.645$
- 由于 $Z = -2 < -1.645$，拒绝原假设 $H_0$。
7. **结论**:
- 拒绝原假设，认为这批元件的平均寿命低于700小时，因此这批元件不合格。
最终答案是:
\[
\boxed{\text{这批元件不合格}}
\]
解析
步骤 1：建立假设
- 原假设 $ H_0 $: 元件的平均寿命 $\mu \geq 700$ 小时 (这批元件合格)
- 备择假设 $ H_1 $: 元件的平均寿命 $\mu < 700$ 小时 (这批元件不合格)
步骤 2：确定显著性水平
- 显著性水平 $\alpha = 0.05$
步骤 3：选择检验统计量
- 由于总体标准差 $\sigma$ 已知，且样本量 $n = 36$ 较大，使用 Z 检验。
步骤 4：计算检验统计量
- 样本平均寿命 $\bar{X} = 680$ 小时
- 总体标准差 $\sigma = 60$ 小时
- 样本量 $n = 36$
- 检验统计量 $Z$ 的计算公式为: \[ Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} \]
其中 $\mu_0 = 700$ 小时。代入数据得: \[ Z = \frac{680 - 700}{60 / \sqrt{36}} = \frac{-20}{60 / 6} = \frac{-20}{10} = -2 \]
步骤 5：确定临界值
- 这是一个单侧检验（左尾检验），在 $\alpha = 0.05$ 时，临界值 $Z_{\alpha} = -1.645$。
步骤 6：比较检验统计量与临界值
- 检验统计量 $Z = -2$
- 临界值 $Z_{\alpha} = -1.645$
- 由于 $Z = -2 < -1.645$，拒绝原假设 $H_0$。
步骤 7：结论
- 拒绝原假设，认为这批元件的平均寿命低于700小时，因此这批元件不合格。
- 原假设 $ H_0 $: 元件的平均寿命 $\mu \geq 700$ 小时 (这批元件合格)
- 备择假设 $ H_1 $: 元件的平均寿命 $\mu < 700$ 小时 (这批元件不合格)
步骤 2：确定显著性水平
- 显著性水平 $\alpha = 0.05$
步骤 3：选择检验统计量
- 由于总体标准差 $\sigma$ 已知，且样本量 $n = 36$ 较大，使用 Z 检验。
步骤 4：计算检验统计量
- 样本平均寿命 $\bar{X} = 680$ 小时
- 总体标准差 $\sigma = 60$ 小时
- 样本量 $n = 36$
- 检验统计量 $Z$ 的计算公式为: \[ Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} \]
其中 $\mu_0 = 700$ 小时。代入数据得: \[ Z = \frac{680 - 700}{60 / \sqrt{36}} = \frac{-20}{60 / 6} = \frac{-20}{10} = -2 \]
步骤 5：确定临界值
- 这是一个单侧检验（左尾检验），在 $\alpha = 0.05$ 时，临界值 $Z_{\alpha} = -1.645$。
步骤 6：比较检验统计量与临界值
- 检验统计量 $Z = -2$
- 临界值 $Z_{\alpha} = -1.645$
- 由于 $Z = -2 < -1.645$，拒绝原假设 $H_0$。
步骤 7：结论
- 拒绝原假设，认为这批元件的平均寿命低于700小时，因此这批元件不合格。