设总体 X sim N(mu, sigma^2)，X_1, X_2, ldots, X_n 是来自总体 X 的一个样本，overline(X) 为样本均值，S^2 为样本方差，则 ((n-1)S^2)/(sigma^2) 服从的分布是( )。A. chi^2(n-1)B. chi^2(n)C. N(0, sigma^2)D. 不确定

考查要点：本题主要考查样本方差的分布以及卡方分布的自由度确定，属于数理统计学中的基础概念题。

解题核心思路：

1. 明确样本方差的定义：$S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$，其中分母为$n-1$是为了保证无偏性。
2. 卡方分布的构造：当总体$X \sim N(\mu, \sigma^2)$时，标准化后的离差平方和$\sum_{i=1}^n \left(\frac{X_i - \overline{X}}{\sigma}\right)^2$服从自由度为$n-1$的卡方分布。
3. 自由度的确定：由于样本均值$\overline{X}$的计算引入了一个约束条件$\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X}) = 0$，导致独立变量数减少1，因此自由度为$n-1$。

破题关键点：

• 区分总体方差与样本方差：若用总体均值$\mu$计算离差平方和，自由度为$n$；但用样本均值$\overline{X}$时，自由度为$n-1$。
• 公式变形：将题目中的表达式$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$代入样本方差的定义，直接关联到卡方分布的构造形式。

步骤1：写出样本方差的定义
样本方差$S^2$的计算公式为：
$S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$

步骤2：代入题目中的表达式
将$S^2$代入$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$，得：
$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} = \frac{(n-1)}{\sigma^2} \cdot \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 = \sum_{i=1}^n \left( \frac{X_i - \overline{X}}{\sigma} \right)^2$

步骤3：分析离差平方和的分布
由于总体$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，标准化后的变量$\frac{X_i - \mu}{\sigma} \sim N(0,1)$。但题目中使用的是样本均值$\overline{X}$，而非总体均值$\mu$，因此离差平方和$\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$的自由度为$n-1$。
根据卡方分布的性质，标准化后的平方和服从$\chi^2(n-1)$分布：
$\sum_{i=1}^n \left( \frac{X_i - \overline{X}}{\sigma} \right)^2 \sim \chi^2(n-1)$

结论：$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$服从$\chi^2(n-1)$分布，对应选项A。