一家汽车零售店的10名销售人员5月份销售的汽车数量（单位：辆）排序后如下：2 4 7 10 10 10 12 12 14 15(1) 计算汽车销售量的众数、中位数和平均数。(2) 计算销售量的四分位数。(3) 计算销售量的标准差。(4) 说明汽车销售量分布的特征。

本题主要考察了描述统计中的集中趋势（众数、中位数、平均数）、离散程度（标准差）以及数据分布特征的相关知识。解题思路是根据相应的定义和公式，逐步计算出所需的统计量，并根据这些统计量来分析数据的分布特征。

(1) 计算汽车销售量的众数、中位数和平均数

• 众数：众数是一组数据中出现次数最多的数值。在这组数据 $2, 4, 7, 10, 10, 10, 12, 12, 14, 15$ 中，数字 $10$ 出现了 $3$ 次，出现的次数最多，所以众数为 $10$。
• 中位数：中位数是将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数为中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数为中位数。这组数据有 $10$ 个，即偶数个，中间的两个数是第 $5$ 个数 $10$ 和第 $6$ 个数 $10$，它们的平均数为 $\frac{10 + 10}{2}=10$，所以中位数是 $10$。
• 平均数：平均数的计算公式为 $\bar{x}=\frac{\sum_{i = 1}^{n}x_{i}}{n}$，其中 $x_{i}$ 表示第 $i$ 个数据，$n$ 表示数据的个数。这组数据的总和为 $2 + 4+7 + 10+10+10+12+12+14+15 = 96$，数据个数 $n = 10$，则平均数 $\bar{x}=\frac{96}{10}=9.6$。

(2) 计算销售量的四分位数

四分位数是将一组数据由小到大（或由大到小）排序后，用 $3$ 个点将全部数据分为 $4$ 等份，与这 $3$ 个点位置上相对应的数值称为四分位数，分别记为 $Q_1$（第 $25$ 百分位数）、$Q_2$（第 $50$ 百分位数，即中位数）、$Q_3$（第 $75$ 百分位数）。

• $Q_1$ 的计算：计算 $Q_1$ 的位置为 $\frac{n}{4}=\frac{10}{4}=2.5$，向上取整为第 $3$ 个数，所以 $Q_1 = 7$。
• $Q_2$ 的计算：$Q_2$ 就是中位数，前面已算出 $Q_2 = 10$。
• $Q_3$ 的计算：计算 $Q_3$ 的位置为 $\frac{3n}{4}=\frac{3\times10}{4}=7.5$，向上取整为第 $8$ 个数，所以 $Q_3 = 12$。

(3) 计算销售量的标准差

标准差的计算公式为 $s=\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^2}{n}}$。

• 首先计算 $(x_{i}-\bar{x})^2$ 的值：
  • 当 $x_1 = 2$ 时，$(2 - 9.6)^2=(-7.6)^2 = 57.76$；
  • 当 $x_2 = 4$ 时，$(4 - 9.6)^2=(-5.6)^2 = 31.36$；
  • 当 $x_3 = 7$ 时，$(7 - 9.6)^2=(-2.6)^2 = 6.76$；
  • 当 $x_4 = 10$ 时，$(10 - 9.6)^2=0.4^2 = 0.16$；
  • 当 $x_5 = 10$ 时，$(10 - 9.6)^2=0.4^2 = 0.16$；
  • 当 $x_6 = 10$ 时，$(10 - 9.6)^2=0.4^2 = 0.16$；
  • 当 $x_7 = 12$ 时，$(12 - 9.6)^2=2.4^2 = 5.76$；
  • 当 $x_8 = 12$ 时，$(12 - 9.6)^2=2.4^2 = 5.76$；
  • 当 $x_9 = 14$ 时，$(14 - 9.6)^2=4.4^2 = 19.36$；
  • 当 $x_{10}=15$ 时，$(15 - 9.6)^2=5.4^2 = 29.16$。
• 然后计算 $\sum_{i = 1}^{10}(x_{i}-\bar{x})^2=57.76+31.36 + 6.76+0.16+0.16+0.16+5.76+5.76+19.36+29.16 = 156.4$。
• 最后计算标准差 $s=\sqrt{\frac{156.4}{10}}=\sqrt{15.64}\approx3.955$。

(4) 说明汽车销售量分布的特征

• 从集中趋势来看，众数和中位数都为 $10$，而平均数为 $9.6$，众数和中位数相等且大于平均数，这表明数据略偏左。
• 从离散程度来看，标准差约为 $3.955$，说明数据点围绕平均数的离散程度适中。