1.某企业随机抽取100名工人进行调查，获得关于日产零件的资料，平均日产量为220件，样本标准差为20件，在重复抽样情况下以95.45%的可靠性估计该企业全部工人平均日产量的置信区间，完成下列各题。(1)在概率保证程度为95.45%的条件下，可以确定t=____。(2)重复抽样平均误差的计算公式是( )。(3)根据上式计算工人日产量的抽样平均误差，计算结果为____件。(计算结果除不尽时，保留两位小数。)(4)抽样极限误差的计算公式是( )。(5)根据上式计算工人日产量的抽样极限误差，计算结果为____件。(计算结果除不尽时，保留两位小数。)(6)估计该企业全部工人平均日产量的置信区间，其下限为____，上限为____。(计算结果除不尽时，保留两位小数。)(7)重复抽样条件下，平均数的必要样本容量计算公式是( )。(8)若在其他条件不变的情况下，使抽样极限误差减少到3件，则至少应抽____名工人进行调查。(保留整数。计算结果若有小数部分，按向上取整方法保留整数)
题目解答
答案
(1) 概率保证程度为95.45%时，$ t = 2 $。
(2) 重复抽样平均误差公式：$\mu = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。
(3) 计算得$\mu = \frac{20}{\sqrt{100}} = 2$件。
(4) 抽样极限误差公式：$\Delta = t \cdot \mu$。
(5) 计算得$\Delta = 2 \cdot 2 = 4$件。
(6) 置信区间：下限$220 - 4 = 216$件，上限$220 + 4 = 224$件。
(7) 必要样本容量公式：$n = \left( \frac{t \sigma}{\Delta} \right)^2$。
(8) 计算得$n = \left( \frac{2 \cdot 20}{3} \right)^2 \approx 177.78$，取整得178名。
答案：
(1) $ t = 2 $
(2) $\mu = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
(3) 2件
(4) $\Delta = t \cdot \mu$
(5) 4件
(6) 下限216件，上限224件
(7) $n = \left( \frac{t \sigma}{\Delta} \right)^2$
(8) 178名
$\boxed{\begin{array}{cccccccc}\text{(1) } t &=& 2 \\\text{(2) } \mu &=& \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \\\text{(3) } \mu &=& 2 \text{ 件} \\\text{(4) } \Delta &=& t \cdot \mu \\\text{(5) } \Delta &=& 4 \text{ 件} \\\text{(6) } \text{下限} &=& 216 \text{ 件}, \text{上限} &=& 224 \text{ 件} \\\text{(7) } n &=& \left( \frac{t \sigma}{\Delta} \right)^2 \\\text{(8) } n &=& 178 \text{ 名} \\\end{array}}$
解析
本题主要考查了抽样调查中置信区间估计的相关知识，包括确定概率保证程度对应的 $t$ 值、重复抽样平均误差的计算、抽样极限误差的计算、置信区间的确定以及必要样本容量的计算。解题思路是根据各个统计量的定义和计算公式，结合题目所给的样本数据逐步进行计算。
(1) 在概率保证程度为 95.45% 的条件下，确定 $t$ 值
在正态分布中，当概率保证程度为 95.45% 时，对应的 $t$ 值是一个固定的统计量，可直接根据常用的概率分布表得到，此时 $t = 2$。
(2) 重复抽样平均误差的计算公式
重复抽样平均误差 $\mu$ 反映了样本均值与总体均值之间的平均差异程度，其计算公式为 $\mu = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，其中 $\sigma$ 是总体标准差，$n$ 是样本容量。
(3) 计算工人日产量的抽样平均误差
已知样本标准差 $\sigma = 20$ 件，样本容量 $n = 100$ 名，将其代入重复抽样平均误差公式可得：
$\mu = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{20}{\sqrt{100}} = \frac{20}{10} = 2$ 件。
(4) 抽样极限误差的计算公式
抽样极限误差 $\Delta$ 是指在一定的概率保证程度下，样本指标与总体指标之间的最大误差范围，它等于 $t$ 值乘以抽样平均误差，即 $\Delta = t \cdot \mu$。
(5) 计算工人日产量的抽样极限误差
已知 $t = 2$，抽样平均误差 $\mu = 2$ 件，将其代入抽样极限误差公式可得：
$\Delta = t \cdot \mu = 2 \times 2 = 4$ 件。
(6) 估计该企业全部工人平均日产量的置信区间
置信区间是指在一定的概率保证程度下，总体参数的可能取值范围。对于总体均值的置信区间，其下限为样本均值 $\bar{x}$ 减去抽样极限误差 $\Delta$，上限为样本均值 $\bar{x}$ 加上抽样极限误差 $\Delta$。已知样本均值 $\bar{x} = 220$ 件，抽样极限误差 $\Delta = 4$ 件，则下限为：
$\bar{x} - \Delta = 220 - 4 = 216$ 件；
上限为：
$\bar{x} + \Delta = 220 + 4 = 224$ 件。
(7) 重复抽样条件下，平均数的必要样本容量计算公式
必要样本容量 $n$ 是指在一定的概率保证程度和抽样极限误差要求下，为了使样本能够准确地代表总体，所需要抽取的样本数量。其计算公式为 $n = \left( \frac{t \sigma}{\Delta} \right)^2$，其中 $t$ 是概率保证程度对应的 $t$ 值，$\sigma$ 是总体标准差，$\Delta$ 是抽样极限误差。
(8) 计算使抽样极限误差减少到 3 件时至少应抽取的工人数
已知 $t = 2$，总体标准差 $\sigma = 20$ 件，抽样极限误差 $\Delta = 3$ 件，将其代入必要样本容量公式可得：
$n = \left( \frac{t \sigma}{\Delta} \right)^2 = \left( \frac{2 \times 20}{3} \right)^2 = \left( \frac{40}{3} \right)^2 = \frac{1600}{9} \approx 177.78$。
由于样本容量必须为整数，且计算结果若有小数部分，按向上取整方法保留整数，所以至少应抽取 178 名工人进行调查。