43.求由下列方程所确定的隐函数的二阶导数 dfrac ({d)^2y}(d{x)^2}-|||-(3) =tan (x+y);

步骤 1：求一阶导数
首先，对给定的隐函数 $y=\tan(x+y)$ 进行求导。根据链式法则，我们有：
$$
\frac{dy}{dx} = \sec^2(x+y) \cdot \frac{d}{dx}(x+y) = \sec^2(x+y) \cdot (1 + \frac{dy}{dx})
$$
解这个方程，得到一阶导数 $y'$：
$$
y' = \frac{dy}{dx} = \frac{\sec^2(x+y)}{1 - \sec^2(x+y)} = \frac{1}{\cos^2(x+y) - 1} = -\frac{1}{\sin^2(x+y)}
$$
步骤 2：求二阶导数
接下来，对一阶导数 $y'$ 进行求导，得到二阶导数 $y''$：
$$
y'' = \frac{d}{dx} \left( -\frac{1}{\sin^2(x+y)} \right) = \frac{2\cos(x+y)}{\sin^3(x+y)} \cdot \frac{d}{dx}(x+y) = \frac{2\cos(x+y)}{\sin^3(x+y)} \cdot (1 + y')
$$
将 $y'$ 的表达式代入，得到：
$$
y'' = \frac{2\cos(x+y)}{\sin^3(x+y)} \cdot \left(1 - \frac{1}{\sin^2(x+y)}\right) = \frac{2\cos(x+y)}{\sin^3(x+y)} \cdot \frac{\sin^2(x+y) - 1}{\sin^2(x+y)} = \frac{2\cos(x+y)}{\sin^5(x+y)} \cdot (-\cos^2(x+y))
$$
化简得到：
$$
y'' = -\frac{2\cos^3(x+y)}{\sin^5(x+y)}
$$