设总体X服从参数为p的0-1分布，其分布律为P(X=x)=p^x(1-p)^1-x，x=0,1。X_1,X_2,ldots,X_n是来自总体X的样本，且样本观测值为x_1,x_2,ldots,x_n，求参数p的极大似然估计量。

本题考查极大似然估计法的应用，解题思路是先根据总体的分布律构造似然函数，再对似然函数取对数以简化计算，然后对对数似然函数求导并令导数为零，最后解出参数的极大似然估计量。

1. 构造似然函数：
   已知总体$X$服从参数为$p$的$0 - 1$分布，其分布律为$P(X = x) = p^x (1 - p)^{1 - x}$，$x = 0, 1$。因为$X_1,X_2,\ldots,X_n$是来自总体$X$的样本，且样本相互独立，所以似然函数$L(p)$为各样本点概率的乘积，即：
   $L(p)=\prod_{i = 1}^{n}P(X_i = x_i)=\prod_{i = 1}^{n}p^{x_i}(1 - p)^{1 - x_i}$
   根据指数运算法则$\prod_{i = 1}^{n}a_i^b_i=a_1^{b_1}a_2^{b_2}\cdots a_n^{b_n}$和$\prod_{i = 1}^{n}a^b=a^{nb}$，可得：
   $L(p)=p^{\sum_{i = 1}^{n}x_i}(1 - p)^{n-\sum_{i = 1}^{n}x_i}$
2. 取对数简化计算：
   为了方便求导，对似然函数$L(p)$取自然对数，得到对数似然函数$\ln L(p)$：
   $\ln L(p)=\ln\left(p^{\sum_{i = 1}^{n}x_i}(1 - p)^{n-\sum_{i = 1}^{n}x_i}\right)$
   根据对数运算法则$\ln(ab)=\ln a+\ln b$和$\ln a^b = b\ln a$，可得：
   $\ln L(p)=\sum_{i = 1}^{n}x_i\ln p+(n - \sum_{i = 1}^{n}x_i)\ln(1 - p)$
3. 求导并令导数为零：
   对对数似然函数$\ln L(p)$关于$p$求导，根据求导公式$(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$和$(\ln(1 - x))^\prime=-\frac{1}{1 - x}$，可得：
   $\frac{d}{dp}\ln L(p)=\frac{\sum_{i = 1}^{n}x_i}{p}-\frac{n - \sum_{i = 1}^{n}x_i}{1 - p}$
   令$\frac{d}{dp}\ln L(p)=0$，即：
   $\frac{\sum_{i = 1}^{n}x_i}{p}-\frac{n - \sum_{i = 1}^{n}x_i}{1 - p}=0$
   移项可得：
   $\frac{\sum_{i = 1}^{n}x_i}{p}=\frac{n - \sum_{i = 1}^{n}x_i}{1 - p}$
   交叉相乘得：
   $(1 - p)\sum_{i = 1}^{n}x_i=p\left(n - \sum_{i = 1}^{n}x_i\right)$
   展开得：
   $\sum_{i = 1}^{n}x_i-p\sum_{i = 1}^{n}x_i=pn - p\sum_{i = 1}^{n}x_i$
   消去$-p\sum_{i = 1}^{n}x_i$，得到：
   $\sum_{i = 1}^{n}x_i=pn$
   解得：
   $p=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_i=\overline{x}$
   将$x_i$换为$X_i$，得到参数$p$的极大似然估计量为$\hat{p}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i=\overline{X}$。