直圆柱的直径及高的相对标准差均为0.5%,求其体积的相对标准差为多少?

步骤 1：确定体积公式
直圆柱的体积公式为 V = πr^2h，其中 r 是半径，h 是高。由于直径 d = 2r，所以体积公式也可以写成 V = π(d/2)^2h = πd^2h/4。

步骤 2：计算相对标准差
相对标准差是标准差与平均值的比值。对于体积 V = πd^2h/4，其相对标准差可以通过对数微分法来计算。设 d 和 h 的相对标准差分别为 σ_d 和 σ_h，则体积 V 的相对标准差 σ_V 可以表示为：
σ_V = √[(2σ_d)^2 + (σ_h)^2] = √[4σ_d^2 + σ_h^2]。

步骤 3：代入已知条件
已知直径 d 和高 h 的相对标准差均为 0.5%，即 σ_d = σ_h = 0.5%。代入上述公式，得到：
σ_V = √[4(0.5%)^2 + (0.5%)^2] = √[4(0.005)^2 + (0.005)^2] = √[4(0.000025) + 0.000025] = √[0.0001 + 0.000025] = √0.000125 = 0.01118 = 1.118%。