题目

(101011.011)_2 = ( )_8 = ( )_(10) = ( )_(16)

$(101011.011)_2 = (\ )_8 = (\ )_{10} = (\ )_{16}$

题目解答

答案

我们来逐步解决这个题目：

题目是将二进制数 $ (101011.011)_2 $ 转换为八进制、十进制和十六进制。

第一步：理解二进制数 $ (101011.011)_2 $

这个二进制数包括整数部分和小数部分：

  • 整数部分：$ 101011_2 $
  • 小数部分：$ 011_2 $

我们将分别进行转换。

第二步：二进制 → 十进制（先算这个，便于验证）

整数部分：$ 101011_2 $

从右往左，每一位的权重是 $ 2^0, 2^1, \dots $

$1 \times 2^5 = 32 \\ 0 \times 2^4 = 0 \\ 1 \times 2^3 = 8 \\ 0 \times 2^2 = 0 \\ 1 \times 2^1 = 2 \\ 1 \times 2^0 = 1 \\ \text{整数部分和} = 32 + 8 + 2 + 1 = 43$

小数部分：$ 011_2 $

从左往右，权重是 $ 2^{-1}, 2^{-2}, 2^{-3} $

$0 \times 2^{-1} = 0 \\ 1 \times 2^{-2} = 0.25 \\ 1 \times 2^{-3} = 0.125 \\ \text{小数部分和} = 0 + 0.25 + 0.125 = 0.375$

所以，十进制为：

$(101011.011)_2 = 43 + 0.375 = (43.375)_{10}$

第三步：二进制 → 八进制（以3位为一组）

八进制是 $ 2^3 $，所以从二进制转八进制，每3位一组。

整数部分：$ 101011 $

从右往左每3位分组，不足补0：

$ 101\ 011 $ → 已经是两组3位

  • $ 011_2 = 3_8 $
  • $ 101_2 = 5_8 $

所以整数部分是 $ 53_8 $

小数部分：$ 011 $

已经是3位：$ 011_2 = 3_8 $

所以小数部分是 $ .3_8 $

因此，八进制为：

$(101011.011)_2 = (53.3)_8$

第四步：二进制 → 十六进制（以4位为一组）

十六进制是 $ 2^4 $，所以每4位一组。

整数部分：$ 101011 $

从右往左分组，每4位一组，不足补0：

$ 0010\ 1011 $

  • $ 1011_2 = B_{16} $（因为 $ 8+2+1=11 $）
  • $ 0010_2 = 2_{16} $

所以整数部分是 $ 2B_{16} $

小数部分：$ 011 $

补足4位：在右边补0 → $ 0110 $（注意：小数部分从左往右补0）

$ 0110_2 = 6_{16} $

所以小数部分是 $ .6_{16} $

因此，十六进制为：

$(101011.011)_2 = (2B.6)_{16}$

最后，整理答案：

$(101011.011)_2 = (53.3)_8 = (43.375)_{10} = (2B.6)_{16}$

✅ 最终答案：

$\boxed{(101011.011)_2 = (53.3)_8 = (43.375)_{10} = (2B.6)_{16}}$

解析

本题主要考查二进制数与八进制、十进制、十六进制数之间的转换。解题思路是分别根据不同进制之间的转换规则，将二进制数转换为对应的八进制、十进制和和十六进制数。

  1. 二进制转十进制：
    • 对于二进制数的整数部分，从右往左，每一位的权重依次是$2^0, 2^1, 2^2, \cdots$，将每一位数字乘以其对应的权重后相加，即可得到整数部分转换为十进制。
    • 对于二进制数的小数部分，从左往右，每一位的权重依次是$2^{-1}, 2^{-2}, 2^{-3}, \cdots$，将每一位数字乘以其对应的权重后相加，即可小数部分转换为十进制。
    • 最后将整数部分和小数部分的十进制结果相加，得到整个二进制数对应的十进制数。
    • 对于二进制数$(101011.011)_2$，整数部分$101011_2$转换为十进制为：
      $\begin{align*}&1\times 2^5 + 0\times 2^4 + 1\times 2^3 + 0\times 2^2 + 1\times 2^1 + 1\times 2^0\\=&32^5 + 2^3 + 2^1 + 2^0\\=&32 + 8 + 2 + 1\\=&43\end{align*}$
    • 小数部分$011_2$转换为十进制为：
      $\begin{align*}&0\times 2^{-1} + 1\times 2^{-2} + 1\times 2^{-3}\\=&0 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3}\\=&0 + 0.25 + 0.125\\=&0.375\end{align*}$
    • 所以$(101011.011)_2转换为十进制是\(43 + 0.375 = (43.375)_{10}$。
  2. 二进制转八进制：
    • 因为$8 = 2^3$，所以将二进制数转换为八进制时，以3位为一组进行划分。
    • 对于整数部分，从右往左每3位一组，不足3位的在左边补0；对于小数部分，从左往右每3位一组，不足3位的在右边补0。
    • 然后将每一组3位二进制数转换为对应的八进制数字。
    • 对于$(101011.011)_2$，整数部分$101011$分组为$101\ 011$，$011_2 = 3_8$，$101_2 = 5_8$，所以整数部分是$53_8$。
    • 小数部分$011$2)本身就是3位，$011_2 = 3_8$，所以小数部分是$.3_8$。
    • 因此，$(101011.011)_2$转换为八进制是$(53.3)_8$。
  3. 二进制转十六进制：
    • 由于$16 = 2^4$，将二进制数转换为十六进制时，以4位为一组进行划分。
    • 整数部分从右往左每4位一组，不足4位在左边补0；小数部分从左往右4位一组，不足4位在右边补0。
    • 再将每一组4位二进制数转换为对应的十六进制数字。
    • 对于$(101011.0111)_2$，整数部分$101011$分组为$0010\ 10111$，$1011_2 = B_{16}$（因为$8 + 2 + 1 = 11$，十六进制中用B表示11），$0010_2 = 2_{16}$，所以整数部分是$2B_{16}$。
    • 小数部分$011$补足4位为$0110$，$0110_2 = 6_{16}$，所以小数部分是$.6_{16}$。
    • 所以，$(101011.011)_2$转换为十六进制是$(2B.6)_{16}$。