题目

2.[判断题] (sin(pi)/(4))'=cos(pi)/(4)A 对B 错

2.[判断题] $(\sin\frac{\pi}{4})'=\cos\frac{\pi}{4}$ A 对 B 错

题目解答

答案

为了判断题目 $(\sin\frac{\pi}{4})'=\cos\frac{\pi}{4}$ 的正确性，我们需要理解导数的概念以及正弦函数的导数。 1. **识别表达式**：给定的表达式是 $(\sin\frac{\pi}{4})'$。这表示 $\sin\frac{\pi}{4}$ 的导数。 2. **评估正弦函数**：首先，我们需要知道 $\sin\frac{\pi}{4}$ 的值。从三角学中，我们知道： \[ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] 因此，表达式 $(\sin\frac{\pi}{4})'$ 可以重写为 $(\frac{\sqrt{2}}{2})'$。 3. **常数的导数**：常数的导数是零。由于 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 是一个常数，它的导数是： \[ (\frac{\sqrt{2}}{2})' = 0 \] 因此，$(\sin\frac{\pi}{4})' = 0$。 4. **比较与余弦函数**：现在，我们需要将这个结果与 $\cos\frac{\pi}{4}$ 进行比较。从三角学中，我们知道： \[ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] 由于 $0 \neq \frac{\sqrt{2}}{2}$，可以得出 $(\sin\frac{\pi}{4})' \neq \cos\frac{\pi}{4}$。 5. **结论**：题目 $(\sin\frac{\pi}{4})'=\cos\frac{\pi}{4}$ 是错误的。 答案是 $\boxed{B}$。

解析

考查要点：本题主要考查导数的基本概念，特别是常数的导数，以及学生对正弦函数导数公式的理解。

解题核心思路：

  1. 识别表达式中的常数：$\sin\frac{\pi}{4}$是一个具体的数值，属于常数。
  2. 应用导数规则：常数的导数为0，而正弦函数的导数公式$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$仅在对变量$x$求导时适用。
  3. 比较结果：将导数结果与题目右侧的$\cos\frac{\pi}{4}$进行对比，判断等式是否成立。

破题关键点：

  • 区分常数与函数：明确$\sin\frac{\pi}{4}$是常数，而非关于$x$的函数。
  • 避免混淆导数公式：防止错误地将$\frac{d}{dx}\sin x$的公式直接套用在常数上。

  1. 计算$\sin\frac{\pi}{4}$的值
    根据三角函数知识：
    $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
    因此，原式可简化为：
    $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)'$

  2. 求导数
    常数的导数为0，因此：
    $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)' = 0$

  3. 比较等式两边

    • 左侧导数结果为$0$。
    • 右侧$\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
    • 显然，$0 \neq \frac{\sqrt{2}}{2}$，等式不成立。