一部机器在一天内发生故障的概率为 0.2，若一周五个工作日里每天是否发生故障是相互独立的，则在某一周内至少发生两次故障的概率为（ ）A. sum_(k=3)^5 C_(5)^k times 0.2^k times 0.8^5-kB. 1 - sum_(k=0)^1 C_(5)^k times 0.2^k times 0.8^5-kC. C_(5)^2 times 0.2^2 times 0.8^3D. sum_(k=0)^2 C_(5)^k times 0.2^k times 0.8^5-k

本题考查二项分布的概率计算。解题的关键在于明确该问题符合二项分布模型，然后利用二项分布的概率公式来计算至少发生两次故障的概率。

步骤一：判断分布类型

已知一部机器在一天内发生故障的概率为$p = 0.2$，一周有$n = 5$个工作日，且每天是否发生故障相互独立。设一周内发生故障的次数为$X$，那么$X$服从参数为$n = 5$，$p = 0.2$的二项分布，即$X\sim B(5,0.2)$。

步骤二：明确二项分布概率公式

对于二项分布$X\sim B(n,p)$，其概率质量函数为$P(X = k) = C_{n}^{k}p^{k}(1 - p)^{n - k}$，其中$C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n - k)!}$，$k = 0,1,2,\cdots,n$。

步骤三：计算至少发生两次故障的概率

“至少发生两次故障”意味着发生故障的次数$k$大于等于$2$，即$P(X\geq2)$。
根据概率的性质，$P(X\geq2)=1 - P(X\lt2)$，而$P(X\lt2)=P(X = 0)+P(X = 1)$。

• 计算$P(X = 0)$：
  将$n = 5$，$k = 0$，$p = 0.2$代入二项分布概率公式$P(X = k) = C_{n}^{k}p^{k}(1 - p)^{n - k}$，可得$P(X = 0)=C_{5}^{0}\times0.2^{0}\times0.8^{5 - 0}$。
• 计算$P(X = 1)$：
  将$n = 5$，$k = 1$，$p = 0.2$代入二项分布概率公式，可得$P(X = 1)=C_{5}^{1}\times0.2^{1}\times0.8^{5 - 1}$。
  所以$P(X\lt2)=P(X = 0)+P(X = 1)=C_{5}^{0}\times0.2^{0}\times0.8^{5}+C_{5}^{1}\times0.2^{1}\times0.8^{4}=\sum_{k = 0}^{1}C_{5}^{k}\times0.2^{k}\times0.8^{5 - k}$。
  则$P(X\geq2)=1 - P(X\lt2)=1 - \sum_{k = 0}^{1}C_{5}^{k}\times0.2^{k}\times0.8^{5 - k}$。