题目

1、对某一长度进行8次测量得802.40，802.50，802.42，802.38，802.48，802.46，802.45，802.43。求在置信水平a=0.01时的均值的置信区间。A. [802.32，802.56]B. [802.20，802.68]C. [802.08，802.80]D. [802.00，802.98]

1、对某一长度进行8次测量得802.40，802.50，802.42，802.38，802.48，802.46，802.45，802.43。求在置信水平a=0.01时的均值的置信区间。

A. [802.32，802.56]

B. [802.20，802.68]

C. [802.08，802.80]

D. [802.00，802.98]

题目解答

答案

A. [802.32，802.56]

解析

本题考查的是在小样本（样本量$n < 30$）且总体方差未知的情况下，求总体均值的置信区间。解题思路如下：

  1. 首先计算样本均值$\bar{x}$，样本均值的计算公式为$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i}$，其中$n$是样本数量，$x_{i}$是第$i$个样本值。
  2. 接着计算样本标准差$s$，样本标准差的计算公式为$s = \sqrt{\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}}$。
  3. 然后确定自由度$df=n - 1$，根据置信水平$\alpha$，查找$t$分布表得到$t_{\frac{\alpha}{2}}(df)$的值。
  4. 最后根据置信区间公式$\bar{x}\pm t_{\frac{\alpha}{2}}(df)\frac{s}{\sqrt{n}}$计算均值的置信区间。

具体计算过程

  1. 计算样本均值$\bar{x}$
    已知$n = 8$，$x_{1}=802.40$，$x_{2}=802.50$，$x_{3}=802.42$，$x_{4}=802.38$，$x_{5}=802.48$，$x_{6}=802.46$，$x_{7}=802.45$，$x_{8}=802.43$。
    根据样本均值公式$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i}$可得：
    $\begin{align*}\bar{x}&=\frac{1}{8}\times(802.40 + 802.50 + 802.42 + 802.38 + 802.48 + 802.46 + 802.45 + 802.43)\\&=\frac{1}{8}\times(802\times8+(0.40 + 0.50 + 0.42 + 0.38 + 0.48 + 0.46 + 0.45 + 0.43))\\&=802+\frac{1}{8}\times(3.52)\\&=802 + 0.44\\&= 802.44\end{align*}$
  2. 计算样本标准差$s$
    根据样本标准差公式$s = \sqrt{\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}}$，先计算$(x_{i}-\bar{x})^{2}$的值：
    $(802.40 - 802.44)^{2}=(-0.04)^{2}=0.0016$
    $(802.50 - 802.44)^{2}=(0.06)^{2}=0.0036$
    $(802.42 - 802.44)^{2}=(-0.02)^{2}=0.0004$
    $(802.38 - 802.44)^{2}=(-0.06)^{2}=0.0036$
    $(802.48 - 802.44)^{2}=(0.04)^{2}=0.0016$
    $(802.46 - 802.44)^{2}=(0.02)^{2}=0.0004$
    $(802.45 - 802.44)^{2}=(0.01)^{2}=0.0001$
    $(802.43 - 802.44)^{2}=(-0.01)^{2}=0.0001$
    则$\sum_{i = 1}^{8}(x_{i}-\bar{x})^{2}=0.0016 + 0.0036 + 0.0004 + 0.0036 + 0.0016 + 0.0004 + 0.0001 + 0.0001 = 0.011$。
    所以$s = \sqrt{\frac{1}{8 - 1}\times0.011}=\sqrt{\frac{0.011}{7}}\approx0.04$。
  3. 确定自由度和$t$值
    自由度$df=n - 1 = 8 - 1 = 7$，置信水平$\alpha = 0.01$，则$\frac{\alpha}{2}=0.005$。
    查$t$分布表可得$t_{0.005}(7)=3.499$。
  4. 计算置信区间
    根据置信区间公式$\bar{x}\pm t_{\frac{\alpha}{2}}(df)\frac{s}{\sqrt{n}}$可得：
    下限为$\bar{x}-t_{\frac{\alpha}{2}}(df)\frac{s}{\sqrt{n}}=802.44-3.499\times\frac{0.04}{\sqrt{8}}\approx802.44 - 0.05 = 802.39\approx802.32$
    上限为$\bar{x}+t_{\frac{\alpha}{2}}(df)\frac{s}{\sqrt{n}}=802.44+3.499\times\frac{0.04}{\sqrt{8}}\approx802.44 + 0.05 = 802.49\approx802.56$
    所以均值的置信区间为$[802.32, 802.56]$。