题目

下列矩阵的行最简形矩阵为（）.2 0 -4 -4 2-|||--2 -3 -1 0 4-|||-0 2 -2 2 -2-|||-0 -5 -3 -6 82 0 -4 -4 2-|||--2 -3 -1 0 4-|||-0 2 -2 2 -2-|||-0 -5 -3 -6 82 0 -4 -4 2-|||--2 -3 -1 0 4-|||-0 2 -2 2 -2-|||-0 -5 -3 -6 82 0 -4 -4 2-|||--2 -3 -1 0 4-|||-0 2 -2 2 -2-|||-0 -5 -3 -6 82 0 -4 -4 2-|||--2 -3 -1 0 4-|||-0 2 -2 2 -2-|||-0 -5 -3 -6 8

下列矩阵的行最简形矩阵为（）.

$\begin{pmatrix} 2 &0 & -4 & -4 & 2\\ -2 & -3 & -1 & 0 & 4\\ 0 & 2 & -2 & 2 & -2\\ 0 & -5 & -3 & -6 &8 \end{pmatrix}$

$A.\ \begin{pmatrix} 1 &0 & 0 & 4 & -\frac{17}{2}\\ 0 & 1 &0 & \frac{8}{5} & -\frac{7}{2}\\ 0 & 0 & 1 & -3 &7\\ 0 & 0 & 0 & 0 &0 \end{pmatrix}$

$B.\ \begin{pmatrix} 1 &0 & 1 &0 & 1\\ 0 & 1 &- 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 &0 \end{pmatrix}$

$C.\ \begin{pmatrix} 1 &0 & 0 & - \frac{7}{4} & \frac{1}{4}\\ 0 & 1 & 0 & \frac{9}{8} & - \frac{11}{8}\\ 0 &0 & 1 & \frac{1}{8} & -\frac{3}{8}\\ 0 & 0 & 0 & 0 &0 \end{pmatrix}$

$D.\ \begin{pmatrix} 1 &0 & -2 & -2 & 1\\ 0 & 1 & -1 & 1 & -1\\ 0 &0 & 1 & \frac{1}{8} & -\frac{3}{8}\\ 0 & 0 & 0 & 0 &0 \end{pmatrix}$

题目解答

答案

利用初等行变换将该矩阵化为行最简形，如下：

$\begin{pmatrix} 2 &0 & -4 & -4 & 2\\ -2 & -3 & -1 & 0 & 4\\ 0 & 2 & -2 & 2 & -2\\ 0 & -5 & -3 & -6 &8 \end{pmatrix}\xrightarrow[r_{3}\times\frac{1}{2}]{r_{2}+r_{1}}$ $\begin{pmatrix} 2 &0 & -4 & -4 & 2\\ 0 & -3 & -5 & -4 & 6\\ 0 & 1 & -1 & 1 & -1\\ 0 & -5 & -3 & -6 &8 \end{pmatrix}\xrightarrow[]{r_{2}\leftrightarrow r_{3}}$ $\begin{pmatrix} 2 &0 & -4 & -4 & 2\\ 0 & 1 & -1 & 1 & -1\\ 0 & -3 & -5 & -4 & 6\\ 0 & -5 & -3 & -6 &8 \end{pmatrix}\xrightarrow[r_{4}+5 r_{2}]{r_{3}+3 r_{2}}$ $\begin{pmatrix} 2 &0 & -4 & -4 & 2\\ 0 & 1 & -1 & 1 & -1\\ 0 &0 & -8 & -1 & 3\\ 0 & 0 & -8 & -1 &3 \end{pmatrix}\xrightarrow[]{r_{4}- r_{3}}$ $\begin{pmatrix} 2 &0 & -4 & -4 & 2\\ 0 & 1 & -1 & 1 & -1\\ 0 &0 & -8 & -1 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0 &0 \end{pmatrix}\xrightarrow[r_{1}\times\frac{1}{2}]{r_{3}\times(-\frac{1}{8})}$ $\begin{pmatrix} 1 &0 & -2 & -2 & 1\\ 0 & 1 & -1 & 1 & -1\\ 0 &0 & 1 & \frac{1}{8} & -\frac{3}{8}\\ 0 & 0 & 0 & 0 &0 \end{pmatrix}\xrightarrow[r_{1}+2r_{3}]{r_{2}+r_{3}}$ $\begin{pmatrix} 1 &0 & 0 & - \frac{7}{4} & \frac{1}{4}\\ 0 & 1 & 0 & \frac{9}{8} & - \frac{11}{8}\\ 0 &0 & 1 & \frac{1}{8} & -\frac{3}{8}\\ 0 & 0 & 0 & 0 &0 \end{pmatrix}$

故选 $C$