设X与Y的相关系数为0.则().A. X与Y必相关B. X与Y不一定相关C. X与Y相互独立D. X与Y必不相关

本题考查相关系数的概念以及相关系数与变量相关性、独立性之间的关系。解题的关键在于理解相关系数的定义和性质，通过相关系数的值来判断变量之间的相关性。

相关系数的定义

设随机变量 $X$ 和 $Y$ 的方差分别为 $D(X)$ 和 $D(Y)$，且 $D(X)>0$，$D(Y)>0$，则 $X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\rho_{XY}$ 定义为：
$\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}$
其中 $Cov(X,Y)$ 是 $X$ 与 $Y$ 的协方差。

相关系数与相关性的关系

• 当 $\rho_{XY}=0$ 时，称 $X$ 与 $Y$ 不相关。这是根据相关系数的定义直接得出的结论，因为相关系数为 $0$ 意味着 $X$ 和 $Y$ 之间不存在线性相关关系。
• 当 $\vert\rho_{XY}\vert = 1$ 时，称 $X$ 与 $Y$ 完全相关；当 $\vert\rho_{XY}\vert$ 越接近 $1$ 时，$X$ 与 $Y$ 的线性相关程度越强；当 $\vert\rho_{XY}\vert$ 越接近 $0$ 时，$X$ 与 $Y$ 的线性相关程度越弱。

对各选项的分析

• 选项A：已知 $X$ 与 $Y$ 的相关系数为 $0$，根据上述相关系数与相关性的关系，$X$ 与 $Y$ 是不相关的，而不是必相关，所以选项A错误。
• 选项B：相关系数为 $0$ 明确表明 $X$ 与 $Y$ 不相关，是确定的结论，而不是不一定相关，所以选项B错误。
• 选项C：相关系数为 $0$ 只能说明 $X$ 与 $Y$ 不相关，但不能得出 $X$ 与 $Y$ 相互独立。相互独立是一个更强的条件，即 $P(X\leq x,Y\leq y)=P(X\leq x)P(Y\leq y)$ 对任意的 $x,y$ 都成立。不相关并不一定意味着相互独立，所以选项C错误。
• 选项D：由相关系数的定义和性质可知，当相关系数 $\rho_{XY}=0$ 时，$X$ 与 $Y$ 必不相关，所以选项D正确。