题目
*9.设在底层乘电梯的人数服从lambda=5的泊松分布，又设此楼共有N+1层。每一个乘客在每一层楼要求停下来离开是等可能的，而且与其余乘客是否在这层停下是相互独立的。求在所有乘客都走出电梯之前，该电梯停止次数的期望值。
*9.设在底层乘电梯的人数服从$\lambda=5$的泊松分布，又设此楼共有N+1层。每一个乘客在每一层楼要求停下来离开是等可能的，而且与其余乘客是否在这层停下是相互独立的。求在所有乘客都走出电梯之前，该电梯停止次数的期望值。
题目解答
答案
设在底层乘电梯的人数 $X$ 服从参数为 $\lambda = 5$ 的泊松分布，每层楼有 $N$ 层（不包括底层）。每个乘客在任一层等可能下车，概率为 $\frac{1}{N}$。
定义随机变量 $Y_i$ 表示电梯在第 $i$ 层是否停止（1表示停止，0表示不_stop），则
\[
P(Y_i = 1) = 1 - \left(1 - \frac{1}{N}\right)^X
\]
取期望得
\[
E\left[\left(1 - \frac{1}{N}\right)^X\right] = e^{-\frac{\lambda}{N}} = e^{-\frac{5}{N}}
\]
因此，
\[
P(Y_i = 1) = 1 - e^{-\frac{5}{N}}
\]
总停止次数期望为
\[
E[Y] = \sum_{i=1}^N E[Y_i] = N \left(1 - e^{-\frac{5}{N}}\right)
\]
**答案：**
\[
\boxed{N \left(1 - e^{-\frac{5}{N}}\right)}
\]
解析
步骤 1：定义随机变量
设在底层乘电梯的人数 $X$ 服从参数为 $\lambda = 5$ 的泊松分布。定义随机变量 $Y_i$ 表示电梯在第 $i$ 层是否停止（1表示停止，0表示不停止），其中 $i = 1, 2, \ldots, N$。
步骤 2：计算单层停止概率
每个乘客在任一层等可能下车，概率为 $\frac{1}{N}$。因此，电梯在第 $i$ 层不停车的概率为 $\left(1 - \frac{1}{N}\right)^X$，停车的概率为 $1 - \left(1 - \frac{1}{N}\right)^X$。取期望得：
\[ E\left[\left(1 - \frac{1}{N}\right)^X\right] = e^{-\frac{\lambda}{N}} = e^{-\frac{5}{N}} \]
因此，电梯在第 $i$ 层停车的概率为：
\[ P(Y_i = 1) = 1 - e^{-\frac{5}{N}} \]
步骤 3：计算总停止次数期望
总停止次数期望为所有层停车次数期望之和，即：
\[ E[Y] = \sum_{i=1}^N E[Y_i] = N \left(1 - e^{-\frac{5}{N}}\right) \]
设在底层乘电梯的人数 $X$ 服从参数为 $\lambda = 5$ 的泊松分布。定义随机变量 $Y_i$ 表示电梯在第 $i$ 层是否停止（1表示停止，0表示不停止），其中 $i = 1, 2, \ldots, N$。
步骤 2：计算单层停止概率
每个乘客在任一层等可能下车，概率为 $\frac{1}{N}$。因此，电梯在第 $i$ 层不停车的概率为 $\left(1 - \frac{1}{N}\right)^X$，停车的概率为 $1 - \left(1 - \frac{1}{N}\right)^X$。取期望得：
\[ E\left[\left(1 - \frac{1}{N}\right)^X\right] = e^{-\frac{\lambda}{N}} = e^{-\frac{5}{N}} \]
因此，电梯在第 $i$ 层停车的概率为：
\[ P(Y_i = 1) = 1 - e^{-\frac{5}{N}} \]
步骤 3：计算总停止次数期望
总停止次数期望为所有层停车次数期望之和，即：
\[ E[Y] = \sum_{i=1}^N E[Y_i] = N \left(1 - e^{-\frac{5}{N}}\right) \]