题目

X_1, X_2, ..., X_n 是总体 N(mu, sigma^2) 的一个样本，其中 mu，sigma^2 已知，则下列选项错误的是________(A) overline(X) sim N(mu, (sigma^2)/(n))(B) (overline(X) - mu)/(sigma / sqrt(n)) sim N(0, 1)(C) (overline(X) - mu)/(S / sqrt(n)) sim t(n)(D) ((n-1)S^2)/(sigma^2) sim chi^2(n-1)A 1B 11C 111D 1111

$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的一个样本，其中 $\mu$，$\sigma^2$ 已知，则下列选项错误的是________

(A) $\overline{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$

(B) $\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0, 1)$

(C) $\frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \sim t(n)$

(D) $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$

A 1

B 11

C 111

D 1111

题目解答

答案

已知 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的一个样本，且总体均值 $\mu$ 和总体方差 $\sigma^2$ 均已知。我们需要判断四个选项中哪一个是错误的。

首先，回顾正态总体抽样分布的相关定理：

  1. 样本均值的分布：若总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则样本均值 $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ 服从正态分布 $N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$。
  2. 标准化统计量：由上述性质，将 $\bar{X}$ 标准化，得到 $\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$ 服从标准正态分布 $N(0, 1)$。
  3. 样本方差的分布：统计量 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$ 服从自由度为 $n-1$ 的卡方分布，即 $\chi^2(n-1)$，其中 $S^2$ 为样本方差。
  4. t分布的构造：统计量 $T = \frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}}$ 服从自由度为 $n-1$ 的 t 分布，即 $t(n-1)$。

接下来，我们逐一分析题目给出的选项：

  • (A) $\bar{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$
    根据正态总体样本均值的性质，该选项是正确的。

  • (B) $\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0, 1)$
    这是将样本均值 $\bar{X}$ 进行标准化后的结果。因为 $\mu$ 和 $\sigma$ 已知，该统计量确实服从标准正态分布。该选项是正确的。

  • (C) $\frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n)$
    根据 t 分布的定义，统计量 $\frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}}$ 应该服从自由度为 $n-1$ 的 t 分布，即 $t(n-1)$，而不是 $t(n)$。因此，该选项的表述是错误的。

  • (D) $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$
    这是正态总体下样本方差相关的标准结论（柯赫伦定理），该选项是正确的。

综上所述，选项 (A)、(B)、(D) 都是正确的结论，只有选项 (C) 是错误的。题目要求选出错误的选项。

C

解析

本题考查正态总体抽样分布的相关知识，解题思路是依据正态总体抽样分布的几个重要定理，对每个选项所涉及的统计量分布进行逐一分析判断。

选项A

已知总体$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，样本均值$\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i$。
根据正态分布的性质：若$X_1,X_2,\cdots,X_n$相互独立且都服从正态分布$N(\mu,\sigma^2)$，则它们的线性组合$\sum_{i = 1}^{n}a_iX_i$也服从正态分布，其中$a_i$为常数。
对于$\overline{X}$，$a_i=\frac{1}{n}$，$E(\overline{X}) = E(\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i)=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}E(X_i)$，因为$E(X_i)=\mu$，所以$E(\overline{X})=\frac{1}{n}\cdot n\mu=\mu$。
$D(\overline{X}) = D(\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i)=\frac{1}{n^2}\sum_{i = 1}^{n}D(X_i)$，又因为$D(X_i)=\sigma^2$，所以$D(\overline{X})=\frac{1}{n^2}\cdot n\sigma^2=\frac{\sigma^2}{n}$。
故$\overline{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$，选项A正确。

选项B

由选项A可知$\overline{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$，根据正态分布的标准化公式：若$Y\sim N(\mu,\sigma^2)$，则$\frac{Y - \mu}{\sigma}\sim N(0,1)$。
对于$\overline{X}$，令$Y = \overline{X}$，$\sigma=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，则$\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0, 1)$，选项B正确。

选项C

根据$t$分布的定义：设$X\sim N(0,1)$，$Y\sim \chi^2(n)$，且$X$与$Y$相互独立，则$T=\frac{X}{\sqrt{\frac{Y}{n}}}\sim t(n)$。
在正态总体$N(\mu, \sigma^2)$中，$\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0, 1)$，$\frac{(n - 1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n - 1)$，且$\overline{X}$与$S^2$相互独立。
那么$\frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}=\frac{\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}}{\sqrt{\frac{(n - 1)S^2}{\sigma^2(n - 1)}}}\sim t(n - 1)$，而不是$t(n)$，所以选项C错误。

选项D

根据柯赫伦定理：设$X_1,X_2,\cdots,X_n$是来自正态总体$N(\mu, \sigma^2)$的样本，则统计量$\frac{(n - 1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n - 1)$，选项D正确。