题目
某随机信号的方差为σ x 2 ，均方值为ψ x 2 ，均值为μ x ，则三者之间______。A. 存在关系式σ x 2 =ψ x 2 +μ x 2B. 存在关系式ψ x 2 =σ x 2 +μ x 2C. 存在关系式σ x 2 =(ψ x -μ x )2D. 相互独立、没有固定的关系式
某随机信号的方差为σ x 2 ，均方值为ψ x 2 ，均值为μ x ，则三者之间______。
A. 存在关系式σ x 2 =ψ x 2 +μ x 2
B. 存在关系式ψ x 2 =σ x 2 +μ x 2
C. 存在关系式σ x 2 =(ψ x -μ x )2
D. 相互独立、没有固定的关系式
题目解答
答案
B. 存在关系式ψ x 2 =σ x 2 +μ x 2
解析
步骤 1：定义方差
方差σ x 2 定义为随机变量X与其均值μ x 之差的平方的期望值，即σ x 2 = E[(X - μ x )^2]。
步骤 2：定义均方值
均方值ψ x 2 定义为随机变量X的平方的期望值，即ψ x 2 = E[X^2]。
步骤 3：推导关系式
根据方差的定义，可以将方差σ x 2 写为：
σ x 2 = E[(X - μ x )^2] = E[X^2 - 2Xμ x + μ x ^2] = E[X^2] - 2μ x E[X] + μ x ^2
由于E[X] = μ x ，所以：
σ x 2 = E[X^2] - 2μ x ^2 + μ x ^2 = E[X^2] - μ x ^2
因此，均方值ψ x 2 与方差σ x 2 和均值μ x 之间的关系为：
ψ x 2 = σ x 2 + μ x ^2
方差σ x 2 定义为随机变量X与其均值μ x 之差的平方的期望值，即σ x 2 = E[(X - μ x )^2]。
步骤 2：定义均方值
均方值ψ x 2 定义为随机变量X的平方的期望值，即ψ x 2 = E[X^2]。
步骤 3：推导关系式
根据方差的定义，可以将方差σ x 2 写为：
σ x 2 = E[(X - μ x )^2] = E[X^2 - 2Xμ x + μ x ^2] = E[X^2] - 2μ x E[X] + μ x ^2
由于E[X] = μ x ，所以：
σ x 2 = E[X^2] - 2μ x ^2 + μ x ^2 = E[X^2] - μ x ^2
因此，均方值ψ x 2 与方差σ x 2 和均值μ x 之间的关系为：
ψ x 2 = σ x 2 + μ x ^2