题目
某厂生产灯泡的合格率为 0.8 ,由中心极限定理估计该厂生产的 10000 个灯泡中合格灯泡数在 7900~8100 的概率为( )。A. Φ(2.5)B. 2Φ(2.5)-1C. 1-Φ(2.5)D. Φ(-2.5)
某厂生产灯泡的合格率为 0.8 ,由中心极限定理估计该厂生产的 10000 个灯泡中合格灯泡数在 7900~8100 的概率为( )。
A. Φ(2.5)
B. 2Φ(2.5)-1
C. 1-Φ(2.5)
D. Φ(-2.5)
题目解答
答案
B. 2Φ(2.5)-1
解析
步骤 1：确定随机变量的分布
设X为10000个灯泡中合格灯泡的数量，X服从二项分布B(n, p)，其中n=10000，p=0.8。由于n很大，p不是太接近0或1，可以使用中心极限定理，将X近似为正态分布N(np, np(1-p))。
步骤 2：计算均值和方差
均值μ=np=10000×0.8=8000，方差σ^2=np(1-p)=10000×0.8×0.2=1600，标准差σ=√1600=40。
步骤 3：计算概率
要计算合格灯泡数在7900~8100的概率，即P(7900≤X≤8100)。首先将X标准化为Z=(X-μ)/σ，得到P((7900-8000)/40≤Z≤(8100-8000)/40)=P(-2.5≤Z≤2.5)。根据标准正态分布的性质，P(-2.5≤Z≤2.5)=2Φ(2.5)-1，其中Φ是标准正态分布的累积分布函数。
设X为10000个灯泡中合格灯泡的数量，X服从二项分布B(n, p)，其中n=10000，p=0.8。由于n很大，p不是太接近0或1，可以使用中心极限定理，将X近似为正态分布N(np, np(1-p))。
步骤 2：计算均值和方差
均值μ=np=10000×0.8=8000，方差σ^2=np(1-p)=10000×0.8×0.2=1600，标准差σ=√1600=40。
步骤 3：计算概率
要计算合格灯泡数在7900~8100的概率，即P(7900≤X≤8100)。首先将X标准化为Z=(X-μ)/σ，得到P((7900-8000)/40≤Z≤(8100-8000)/40)=P(-2.5≤Z≤2.5)。根据标准正态分布的性质，P(-2.5≤Z≤2.5)=2Φ(2.5)-1，其中Φ是标准正态分布的累积分布函数。