题目

若随机变量X服从正态分布，那么随机变量Y=aX+b(aneq0)也服从正态分布.

若随机变量$X$服从正态分布，那么随机变量$Y=aX+b(a\neq0)$也服从正态分布.

题目解答

答案

设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，其概率密度函数为：
$f_X(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}.$
对于 $Y = aX + b$（其中 $a \neq 0$），通过变量变换 $y = ax + b$，得 $x = \frac{y - b}{a}$，且 $dx = \frac{1}{|a|} dy$。
$Y$ 的概率密度函数为：
$f_Y(y) = f_X\left(\frac{y - b}{a}\right) \frac{1}{|a|} = \frac{1}{|a|\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(y - (a\mu + b))^2}{2(a\sigma)^2}}.$
此式表明 $Y$ 服从正态分布 $N(a\mu + b, (a\sigma)^2)$。
结论： 原陈述正确。
$\boxed{\text{正确}}$

解析

本题考查正态分布的性质以及随机变量函数的概率密度求解。解题思路是先明确已知随机变量$X$服从正态分布$N(\mu, \sigma^2)$，写出其概率密度函数。然后对于随机变量$Y = aX + b$（$a\neq0$），通过变量变换得到$x$关于$y$的表达式以及$dx$与$dy$的关系，再利用随机变量函数的概率密度公式求出$Y$的概率密度函数，最后根据$Y$的概率密度函数判断其是否服从正态分布。

  1. 已知随机变量$X$服从正态分布$N(\mu, \sigma^2)$，其概率密度函数为：
    $f_X(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
  2. 对于$Y = aX + b$（其中$a \neq 0$），进行变量变换：
    • 由$y = ax + b$，解出$x$关于$y$的表达式为$x = \frac{y - b}{a}$。
    • 对$x = \frac{y - b}{a}$求微分，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，可得$dx = \frac{1}{a} dy$。因为在概率密度函数中需要考虑绝对值，所以$dx = \frac{1}{|a|} dy$。
  3. 根据随机变量函数的概率密度公式$f_Y(y) = f_X\left(\frac{y - b}{a}\right) \frac{1}{|a|}$，将$x = \frac{y - b}{a}$代入$f_X(x)$中：
    $\begin{align*}f_Y(y) &= \frac{1}{|a|\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(\frac{y - b}{a}-\mu)^2}{2\sigma^2}}\\&= \frac{1}{|a|\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(\frac{y - b - a\mu}{a})^2}{2\sigma^2}}\\&= \frac{1}{|a|\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(y - (a\mu + b))^2}{2a^2\sigma^2}}\\&= \frac{1}{|a|\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(y - (a\mu + b))^2}{2(a\sigma)^2}}\end{align*}$
  4. 正态分布$N(\mu_Y, \sigma_Y^2)$的概率密度函数为$f_Y(y)=\frac{1}{\sigma_Y \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(y - \mu_Y)^2}{2\sigma_Y^2}}$，对比$f_Y(y) = \frac{1}{|a|\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(y - (a\mu + b))^2}{2(a\sigma)^2}}$，可得$\mu_Y = a\mu + b$，$\sigma_Y^2 = (a\sigma)^2$，这表明$Y$服从正态分布$N(a\mu + b, (a\sigma)^2)$。所以原陈述“若随机变量$X$服从正态分布，那么随机变量$Y=aX+b(a\neq0)$也服从正态分布”是正确的。