将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内,调节器整定在d℃,液体的温度X(以℃计)是一个随机变量,且X∼N(d,0.52).(1)若d=90℃，求X小于89℃的概率。(2)若要求保持液体的温度至少为80℃的概率不低于0.99，问d至少为多少?.

考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算及分位数的应用，涉及标准化变换和标准正态分布表的使用。

解题思路：

1. 标准化转换：将正态分布变量转化为标准正态变量$Z = \frac{X - d}{\sigma}$，利用标准正态分布表查概率。
2. 逆向应用分位数：根据概率要求反推均值$d$，需找到对应分位数后解不等式。

关键点：

• 标准化公式的应用；
• 标准正态分布表的查值技巧；
• 不等式方向在分位数转换中的处理。

第（1）题

标准化处理

当$d=90$时，$X \sim N(90, 0.5^2)$。计算$P(X < 89)$：
$Z = \frac{89 - 90}{0.5} = -2$

查标准正态分布表

$\Phi(-2) = 1 - \Phi(2) = 1 - 0.9772 = 0.0228$。

第（2）题

转化概率条件

要求$P(X \geq 80) \geq 0.99$，等价于：
$P(X < 80) \leq 0.01$

标准化与分位数

设$\frac{80 - d}{0.5} \leq z_{0.01}$，查表得$z_{0.01} = -2.327$，解得：
$\frac{80 - d}{0.5} \leq -2.327 \implies d \geq 80 + 0.5 \times 2.327 = 81.1635$