题目
【例7】设随机变量X服从正态分布N(1,2^2),求概率P(-1.6le Xle 2.4).
【例7】设随机变量X服从正态分布$N(1,2^{2})$,求概率
$P(-1.6\le X\le 2.4)$.
题目解答
答案
为了求解随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(1, 2^2)$ 时,概率 $P(-1.6 \le X \le 2.4)$,我们需要将 $X$ 转换为标准正态分布 $N(0, 1)$ 的随机变量 $Z$,然后使用标准正态分布表来求解。
1. **将 $X$ 转换为标准正态分布 $Z$:**
标准正态分布的转换公式为:
\[
Z = \frac{X - \mu}{\sigma}
\]
其中,$\mu$ 是 $X$ 的均值,$\sigma$ 是 $X$ 的标准差。对于 $X \sim N(1, 2^2)$,我们有 $\mu = 1$ 和 $\sigma = 2$。
2. **计算 $X = -1.6$ 对应的 $Z$ 值:**
\[
Z_1 = \frac{-1.6 - 1}{2} = \frac{-2.6}{2} = -1.3
\]
3. **计算 $X = 2.4$ 对应的 $Z$ 值:**
\[
Z_2 = \frac{2.4 - 1}{2} = \frac{1.4}{2} = 0.7
\]
4. **求 $P(-1.3 \le Z \le 0.7)$:**
根据标准正态分布的性质,我们有:
\[
P(-1.3 \le Z \le 0.7) = P(Z \le 0.7) - P(Z \le -1.3)
\]
5. **使用标准正态分布表:**
- 查表求 $P(Z \le 0.7)$:
\[
P(Z \le 0.7) \approx 0.7580
\]
- 查表求 $P(Z \le -1.3)$:
\[
P(Z \le -1.3) = 1 - P(Z \le 1.3) \approx 1 - 0.9032 = 0.0968
\]
6. **计算 $P(-1.3 \le Z \le 0.7)$:**
\[
P(-1.3 \le Z \le 0.7) = 0.7580 - 0.0968 = 0.6612
\]
因此,概率 $P(-1.6 \le X \le 2.4)$ 为 $\boxed{0.6612}$。
解析
步骤 1:将 $X$ 转换为标准正态分布 $Z$
标准正态分布的转换公式为: \[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \] 其中,$\mu$ 是 $X$ 的均值,$\sigma$ 是 $X$ 的标准差。对于 $X \sim N(1, 2^2)$,我们有 $\mu = 1$ 和 $\sigma = 2$。
步骤 2:计算 $X = -1.6$ 对应的 $Z$ 值
\[ Z_1 = \frac{-1.6 - 1}{2} = \frac{-2.6}{2} = -1.3 \]
步骤 3:计算 $X = 2.4$ 对应的 $Z$ 值
\[ Z_2 = \frac{2.4 - 1}{2} = \frac{1.4}{2} = 0.7 \]
步骤 4:求 $P(-1.3 \le Z \le 0.7)$
根据标准正态分布的性质,我们有: \[ P(-1.3 \le Z \le 0.7) = P(Z \le 0.7) - P(Z \le -1.3) \]
步骤 5:使用标准正态分布表
- 查表求 $P(Z \le 0.7)$: \[ P(Z \le 0.7) \approx 0.7580 \]
- 查表求 $P(Z \le -1.3)$: \[ P(Z \le -1.3) = 1 - P(Z \le 1.3) \approx 1 - 0.9032 = 0.0968 \]
步骤 6:计算 $P(-1.3 \le Z \le 0.7)$
\[ P(-1.3 \le Z \le 0.7) = 0.7580 - 0.0968 = 0.6612 \]
标准正态分布的转换公式为: \[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \] 其中,$\mu$ 是 $X$ 的均值,$\sigma$ 是 $X$ 的标准差。对于 $X \sim N(1, 2^2)$,我们有 $\mu = 1$ 和 $\sigma = 2$。
步骤 2:计算 $X = -1.6$ 对应的 $Z$ 值
\[ Z_1 = \frac{-1.6 - 1}{2} = \frac{-2.6}{2} = -1.3 \]
步骤 3:计算 $X = 2.4$ 对应的 $Z$ 值
\[ Z_2 = \frac{2.4 - 1}{2} = \frac{1.4}{2} = 0.7 \]
步骤 4:求 $P(-1.3 \le Z \le 0.7)$
根据标准正态分布的性质,我们有: \[ P(-1.3 \le Z \le 0.7) = P(Z \le 0.7) - P(Z \le -1.3) \]
步骤 5:使用标准正态分布表
- 查表求 $P(Z \le 0.7)$: \[ P(Z \le 0.7) \approx 0.7580 \]
- 查表求 $P(Z \le -1.3)$: \[ P(Z \le -1.3) = 1 - P(Z \le 1.3) \approx 1 - 0.9032 = 0.0968 \]
步骤 6:计算 $P(-1.3 \le Z \le 0.7)$
\[ P(-1.3 \le Z \le 0.7) = 0.7580 - 0.0968 = 0.6612 \]