题目
判断 设F(x)为随机变量X的分布函数,则它是一个单调不降的函数。A. √B. X
判断 设F(x)为随机变量X的分布函数,则它是一个单调不降的函数。
A. √
B. X
题目解答
答案
A. √
解析
分布函数的定义是$F(x) = P(X \leq x)$,即随机变量$X$取值不超过$x$的概率。其核心性质包括:
- 非减性:若$x_1 < x_2$,则$F(x_1) \leq F(x_2)$。这是由于随着$x$增大,包含的事件范围扩大,概率不会减小。
- 右连续性:$\lim_{h \to 0^+} F(x + h) = F(x)$。
- 极限值:$\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0$,$\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1$。
本题直接考查非减性,需明确分布函数的单调不降特性由概率的累积性决定。
关键思路:
根据分布函数的定义,当$x$增大时,事件$\{X \leq x\}$的范围扩大或保持不变,因此对应的概率$F(x)$也应非减。例如:
- 若$x_1 < x_2$,则$\{X \leq x_1\} \subseteq \{X \leq x_2\}$,故$P(X \leq x_1) \leq P(X \leq x_2)$,即$F(x_1) \leq F(x_2)$。
- 无论随机变量是离散、连续还是退化(常数),该性质均成立。
结论:
题目中“单调不降”描述正确,故选A。