题目
设D(X)=4, D(Y)=6, ρXY=0.6, 求D(3X-2Y) .
设D(X)=4, D(Y)=6, ρXY=0.6, 求D(3X-2Y) .
题目解答
答案
解 
.
解析
步骤 1：计算协方差
根据协方差的定义，我们有 $Cov(X,Y) = \rho_{XY} \sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)}$。将给定的值代入，得到 $Cov(X,Y) = 0.6 \times \sqrt{4} \times \sqrt{6} = 0.6 \times 2 \times \sqrt{6} = 1.2 \sqrt{6}$。
步骤 2：计算方差
根据方差的性质，我们有 $D(aX + bY) = a^2D(X) + b^2D(Y) + 2abCov(X,Y)$。将给定的值代入，得到 $D(3X - 2Y) = 9D(X) + 4D(Y) - 12Cov(X,Y)$。
步骤 3：代入数值
将 $D(X) = 4$，$D(Y) = 6$，$Cov(X,Y) = 1.2 \sqrt{6}$ 代入，得到 $D(3X - 2Y) = 9 \times 4 + 4 \times 6 - 12 \times 1.2 \sqrt{6} = 36 + 24 - 14.4 \sqrt{6}$。
步骤 4：计算结果
计算 $D(3X - 2Y) = 60 - 14.4 \sqrt{6}$，并将其近似为 $24.727$。
根据协方差的定义，我们有 $Cov(X,Y) = \rho_{XY} \sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)}$。将给定的值代入，得到 $Cov(X,Y) = 0.6 \times \sqrt{4} \times \sqrt{6} = 0.6 \times 2 \times \sqrt{6} = 1.2 \sqrt{6}$。
步骤 2：计算方差
根据方差的性质，我们有 $D(aX + bY) = a^2D(X) + b^2D(Y) + 2abCov(X,Y)$。将给定的值代入，得到 $D(3X - 2Y) = 9D(X) + 4D(Y) - 12Cov(X,Y)$。
步骤 3：代入数值
将 $D(X) = 4$，$D(Y) = 6$，$Cov(X,Y) = 1.2 \sqrt{6}$ 代入，得到 $D(3X - 2Y) = 9 \times 4 + 4 \times 6 - 12 \times 1.2 \sqrt{6} = 36 + 24 - 14.4 \sqrt{6}$。
步骤 4：计算结果
计算 $D(3X - 2Y) = 60 - 14.4 \sqrt{6}$，并将其近似为 $24.727$。