题目
设随机变量X的密度函数为 f(x) ，且 f(-x)=f(x), F(x) 是X的分布函数，则对任意实数a成立的是（ ）A. F(-a)=1-int_(0)^a f(x)dx.B. F(-a)=(1)/(2)-int_(0)^a f(x)dx.C. F(-a)=F(a).D. F(-a)=2F(a)-1.
设随机变量X的密度函数为 $f(x)$ ，且 $f(-x)=f(x)$, $F(x)$ 是X的分布函数，则对任意实数a成立的是（ ）
A. $F(-a)=1-\int_{0}^{a} f(x)dx$.
B. $F(-a)=\frac{1}{2}-\int_{0}^{a} f(x)dx$.
C. $F(-a)=F(a)$.
D. $F(-a)=2F(a)-1$.
题目解答
答案
已知随机变量 $X$ 的密度函数为 $f(x)$，且满足 $f(-x) = f(x)$，即 $f(x)$ 是一个偶函数。$F(x)$ 是 $X$ 的分布函数，定义为 $F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt$。
我们需要找出对于任意实数 $a$ 成立的等式。
首先，根据分布函数的定义，写出 $F(-a)$ 的表达式：
$$F(-a) = \int_{-\infty}^{-a} f(x) dx$$
由于 $f(x)$ 是偶函数，其图像关于 $y$ 轴对称。根据概率密度函数的性质，整个实数轴上的积分为 1：
$$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = 1$$
又因为 $f(x)$ 是偶函数，所以：
$$\int_{-\infty}^{0} f(x) dx = \int_{0}^{+\infty} f(x) dx = \frac{1}{2}$$
现在我们来计算 $F(-a)$。对积分 $\int_{-\infty}^{-a} f(x) dx$ 进行变量代换，令 $x = -t$，则 $dx = -dt$。
当 $x = -\infty$ 时，$t = +\infty$；
当 $x = -a$ 时，$t = a$。
代入积分得到：
$$F(-a) = \int_{+\infty}^{a} f(-t) (-dt) = \int_{a}^{+\infty} f(-t) dt$$
因为 $f(-t) = f(t)$，所以：
$$F(-a) = \int_{a}^{+\infty} f(t) dt$$
我们知道总概率为 1，即 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) dt = 1$。
可以将 $\int_{a}^{+\infty} f(t) dt$ 表示为：
$$\int_{a}^{+\infty} f(t) dt = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) dt - \int_{-\infty}^{a} f(t) dt = 1 - F(a)$$
所以，$F(-a) = 1 - F(a)$。
接下来，我们将 $F(a)$ 展开为：
$$F(a) = \int_{-\infty}^{a} f(x) dx = \int_{-\infty}^{0} f(x) dx + \int_{0}^{a} f(x) dx$$
前面已经得出 $\int_{-\infty}^{0} f(x) dx = \frac{1}{2}$，所以：
$$F(a) = \frac{1}{2} + \int_{0}^{a} f(x) dx$$
将 $F(a)$ 的表达式代入 $F(-a) = 1 - F(a)$ 中：
$$F(-a) = 1 - \left( \frac{1}{2} + \int_{0}^{a} f(x) dx \right) = \frac{1}{2} - \int_{0}^{a} f(x) dx$$
对比给出的选项：
A. $F(-a) = 1 - \int_{0}^{a} f(x) dx$ （错误）
B. $F(-a) = \frac{1}{2} - \int_{0}^{a} f(x) dx$ （正确）
C. $F(-a) = F(a)$ （错误，除非 $a=0$）
D. $F(-a) = 2F(a) - 1$ （错误）
因此，正确答案是 B。
解析
本题考查连续型随机变量分布函数的性质以及偶函数的积分性质。解题的关键在于利用概率密度函数$f(x)$是偶函数这一条件，结合分布函数的定义和积分的性质来推导$F(-a)$与其他表达式之间的关系。
- 首先明确分布函数的定义：
- 已知随机变量$X$的分布函数$F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt$，那么$F(-a)=\int_{-\infty}^{-a}f(x)dx$。
- 利用偶函数的积分性质：
- 因为$f(x)$是偶函数，即$f(-x) = f(x)$，且$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1$，根据偶函数积分的对称性可知$\int_{-\infty}^{0}f(x)dx=\int_{0}^{+\infty}f(x)dx=\frac{1}{2}$。
- 对$F(-a)$进行变量代换：
- 令$x=-t$，则$dx=-dt$。当$x = -\infty$时，$t = +\infty$；当$x = -a$时，$t = a$。
- 所以$F(-a)=\int_{+\infty}^{a}f(-t)(-dt)=\int_{a}^{+\infty}f(-t)dt$。
- 又因为$f(-t)=f(t)$，则$F(-a)=\int_{a}^{+\infty}f(t)dt$。
- 计算$\int_{a}^{+\infty}f(t)dt$：
- 由于$\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)dt = 1$，且$\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)dt=\int_{-\infty}^{a}f(t)dt+\int_{a}^{+\infty}f(t)dt$，所以$\int_{a}^{+\infty}f(t)dt = 1-\int_{-\infty}^{a}f(t)dt$。
- 而$\int_{-\infty}^{a}f(t)dt=F(a)$，故$F(-a)=1 - F(a)$。
- 展开$F(a)$：
- $F(a)=\int_{-\infty}^{a}f(x)dx=\int_{-\infty}^{0}f(x)dx+\int_{0}^{a}f(x)dx$。
- 因为$\int_{-\infty}^{0}f(x)dx=\frac{1}{2}$，所以$F(a)=\frac{1}{2}+\int_{0}^{a}f(x)dx$。
- 将$F(a)$代入$F(-a)=1 - F(a)$：
- $F(-a)=1-(\frac{1}{2}+\int_{0}^{a}f(x)dx)=\frac{1}{2}-\int_{0}^{a}f(x)dx$。