已知函数 y = x arctan x，则 y'' = ( )A. arctan x + (x)/(1 + x^2)B. (2)/((1 + x^2)^2)C. -(2)/((1 + x^2)^2)D. (2)/(1 + x^2)

本题考查函数的二阶导数的计算，解题思路是先对原函数求一阶导数，再对一阶导数求导得到二阶导数。

步骤一：求函数$y = x\arctan x$的一阶导数$y'$

根据乘积的求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，其中$u = x$，$v = \arctan x$。

• 对$u = x$求导，根据求导公式$(x^n)^\prime = nx^{n - 1}$，可得$u^\prime=(x)^\prime = 1$。
• 对$v = \arctan x$求导，根据求导公式$(\arctan x)^\prime = \frac{1}{1 + x^2}$，可得$v^\prime = (\arctan x)^\prime = \frac{1}{1 + x^2}$。
  将$u^\prime$、$v$、$u$、$v^\prime$代入乘积求导法则可得：
  $y^\prime=(x\arctan x)^\prime = 1\times\arctan x + x\times\frac{1}{1 + x^2}=\arctan x + \frac{x}{1 + x^2}$

步骤二：求函数$y$的二阶导数$y''$

由步骤一可知$y^\prime=\arctan x + \frac{x}{1 + x^2}$，根据加法求导法则$(u+v)^\prime = u^\prime + v^\prime$，分别对$\arctan x$和$\frac{x}{1 + x^2}$求导。

• 对$\arctan x$求导，根据求导公式$(\arctan x)^\prime = \frac{1}{1 + x^2}$，可得$(\arctan x)^\prime = \frac{1}{1 + x^2}$。
• 对$\frac{x}{1 + x^2}$求导，根据除法求导法则$(\frac{u}{v})^\prime = \frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^2}$，其中$u = x$，$v = 1 + x^2$。
  • 对$u = x$求导，可得$u^\prime=(x)^\prime = 1$。
  • 对$v = 1 + x^2$求导，根据求导公式$(x^n)^\prime = nx^{n - 1}$，可得$v^\prime=(1 + x^2)^\prime = 2x$。
    将$u^\prime$、$v$、$u$、$v^\prime$代入除法求导法则可得：
    $(\frac{x}{1 + x^2})^\prime = \frac{1\times(1 + x^2) - x\times2x}{(1 + x^2)^2}=\frac{1 + x^2 - 2x^2}{(1 + x^2)^2}=\frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2}$
    将$(\arctan x)^\prime$和$(\frac{x}{1 + x^2})^\prime$代入加法求导法则可得：
    $y'' = (\arctan x + \frac{x}{1 + x^2})^\prime = \frac{1}{1 + x^2} + \frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2}$
    通分可得：
    $y'' = \frac{1 + x^2}{(1 + x^2)^2} + \frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2}=\frac{1 + x^2 + 1 - x^2}{(1 + x^2)^2}=\frac{2}{(1 + x^2)^2}$