题目
某电子计算机主机有100个终端，每个终端有20%的可能处于闲置状态，若各终端被使用与否是相互独立的。由中心极限定理至少有15个终端闲置的概率约为（ ）.(备用数据(1.25)=0.8944，(1.25)=0.8944 )A. 0.0228B. 0.9772C.0.8944D.0.1056
某电子计算机主机有100个终端，每个终端有20%的可能处于闲置状态，若各终端被使用与否是相互独立的。由中心极限定理至少有15个终端闲置的概率约为（ ）.(备用数据
，
)
A. 0.0228
B. 0.9772
C.0.8944
D.0.1056
题目解答
答案
设X为终端闲置的数量，由题可知，X服从二项分布，即
。再根据拉普拉斯中心极限定理可知，
即有
，故
∴
则
则至少有15个终端闲置的概率约为0.8944，故答案为C选项。
解析
步骤 1：定义随机变量
设X为终端闲置的数量，由题可知，X服从二项分布，即$X\sim B(100,0.2)$。
步骤 2：应用中心极限定理
根据拉普拉斯中心极限定理，当n足够大时，二项分布可以近似为正态分布。因此，$X$可以近似为正态分布$N(\mu, \sigma^2)$，其中$\mu = np = 100 \times 0.2 = 20$，$\sigma^2 = np(1-p) = 100 \times 0.2 \times 0.8 = 16$，$\sigma = \sqrt{16} = 4$。
步骤 3：计算概率
要计算至少有15个终端闲置的概率，即$P(X \geq 15)$。根据中心极限定理，可以将二项分布转换为标准正态分布，即$P(X \geq 15) = P\left(\frac{X - \mu}{\sigma} \geq \frac{15 - 20}{4}\right) = P\left(Z \geq -1.25\right)$，其中$Z$为标准正态分布的随机变量。根据标准正态分布表，$P(Z \geq -1.25) = 1 - P(Z \leq -1.25) = 1 - (1 - 0.8944) = 0.8944$。
设X为终端闲置的数量，由题可知，X服从二项分布，即$X\sim B(100,0.2)$。
步骤 2：应用中心极限定理
根据拉普拉斯中心极限定理，当n足够大时，二项分布可以近似为正态分布。因此，$X$可以近似为正态分布$N(\mu, \sigma^2)$，其中$\mu = np = 100 \times 0.2 = 20$，$\sigma^2 = np(1-p) = 100 \times 0.2 \times 0.8 = 16$，$\sigma = \sqrt{16} = 4$。
步骤 3：计算概率
要计算至少有15个终端闲置的概率，即$P(X \geq 15)$。根据中心极限定理，可以将二项分布转换为标准正态分布，即$P(X \geq 15) = P\left(\frac{X - \mu}{\sigma} \geq \frac{15 - 20}{4}\right) = P\left(Z \geq -1.25\right)$，其中$Z$为标准正态分布的随机变量。根据标准正态分布表，$P(Z \geq -1.25) = 1 - P(Z \leq -1.25) = 1 - (1 - 0.8944) = 0.8944$。