题目
.3-8 [2004数学一、数学三数学四]设随机变量X服从参数为λ的指-|||-数分布,则 [ Xgt sqrt (D(X))] = __
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查指数分布的性质及其概率计算。
解题核心思路：
- 确定指数分布的方差，进而求出$\sqrt{D(X)}$的值；
- 利用指数分布的无记忆性或直接积分计算概率$P(X > \sqrt{D(X)})$。
破题关键点：
- 指数分布的方差公式：$D(X) = \frac{1}{\lambda^2}$，因此$\sqrt{D(X)} = \frac{1}{\lambda}$；
- 指数分布的生存函数：$P(X > x) = e^{-\lambda x}$，直接代入$x = \frac{1}{\lambda}$即可。
-
计算方差的平方根
指数分布的方差为$D(X) = \frac{1}{\lambda^2}$，因此：
$\sqrt{D(X)} = \sqrt{\frac{1}{\lambda^2}} = \frac{1}{\lambda}.$ -
计算概率$P(X > \frac{1}{\lambda})$
对于指数分布，概率$P(X > x)$的公式为：
$P(X > x) = e^{-\lambda x} \quad (x \geq 0).$
代入$x = \frac{1}{\lambda}$，得：
$P\left(X > \frac{1}{\lambda}\right) = e^{-\lambda \cdot \frac{1}{\lambda}} = e^{-1} = \frac{1}{e}.$