题目
2、从水平锻造机的一大批产品中随机抽取20件，测得其尺寸平均值overline(x)=32.58，样本方差S²=0.0966。假定该产品的尺寸X~N(μ,σ²)，μ,σ²均未知。试求σ²的置信度为95%的置信区间。
2、从水平锻造机的一大批产品中随机抽取20件，测得其尺寸平均值$\overline{x}$=32.58，样本方差S²=0.0966。假定该产品的尺寸X~N(μ,σ²)，μ,σ²均未知。试求σ²的置信度为95%的置信区间。
题目解答
答案
已知样本大小 $n = 20$，样本方差 $S^2 = 0.0966$，置信水平为95%。
枢轴量 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$，自由度 $n-1 = 19$。
查表得 $\chi^2_{0.025}(19) = 32.852$，$\chi^2_{0.975}(19) = 8.907$。
置信区间为 $\left( \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{0.025}(19)}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{0.975}(19)} \right)$。
代入数值计算得：
\[
\left( \frac{19 \times 0.0966}{32.852}, \frac{19 \times 0.0966}{8.907} \right) \approx (0.0559, 0.2061)
\]
**答案：** $\boxed{(0.0559, 0.2061)}$
解析
步骤 1：确定样本大小和样本方差
样本大小 $n = 20$，样本方差 $S^2 = 0.0966$。
步骤 2：确定置信水平和自由度
置信水平为95%，自由度 $n-1 = 19$。
步骤 3：查表确定卡方分布的临界值
查表得 $\chi^2_{0.025}(19) = 32.852$，$\chi^2_{0.975}(19) = 8.907$。
步骤 4：计算置信区间
置信区间为 $\left( \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{0.025}(19)}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{0.975}(19)} \right)$。
步骤 5：代入数值计算
代入数值计算得： \[ \left( \frac{19 \times 0.0966}{32.852}, \frac{19 \times 0.0966}{8.907} \right) \approx (0.0559, 0.2061) \]
样本大小 $n = 20$，样本方差 $S^2 = 0.0966$。
步骤 2：确定置信水平和自由度
置信水平为95%，自由度 $n-1 = 19$。
步骤 3：查表确定卡方分布的临界值
查表得 $\chi^2_{0.025}(19) = 32.852$，$\chi^2_{0.975}(19) = 8.907$。
步骤 4：计算置信区间
置信区间为 $\left( \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{0.025}(19)}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{0.975}(19)} \right)$。
步骤 5：代入数值计算
代入数值计算得： \[ \left( \frac{19 \times 0.0966}{32.852}, \frac{19 \times 0.0966}{8.907} \right) \approx (0.0559, 0.2061) \]