设总体 X 的概率分布为:[ P(X=1)=theta, P(X=2)=2theta, P(X=3)=1-3theta ]其中 theta in (0, (1)/(3))。现测得样本观测值为 1,2,1,3,2，求:(1) theta 的矩估计值；(2) theta 的最大似然估计值。

本题主要考查参数估计中的矩估计和最大似然估计的方法。

（1）求 $\theta$ 的矩估计值

• 计算总体期望 $E(X)$：
  根据期望的定义，对于离散型随机变量 $X$，其期望 $E(X)=\sum_{i}x_{i}P(X = x_{i})$。
  已知总体 $X$ 的概率分布为 $P(X = 1)=\theta$，$P(X = 2)=2\theta$，$P(X = 3)=1 - 3\theta$，则：
  $\begin{align*}E(X)&=1\times\theta + 2\times2\theta+3\times(1 - 3\theta)\\&=\theta + 4\theta+3 - 9\theta\\&=3 - 4\theta\end{align*}$
• 计算样本均值 $\bar{X}$：
  样本观测值为 $1,2,1,3,2$，样本容量 $n = 5$，根据样本均值公式 $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i}$，可得：
  $\bar{X}=\frac{1 + 2 + 1 + 3 + 2}{5}=\frac{9}{5}$
• 求解 $\theta$ 的矩估计值：
  矩估计的思想是用样本均值 $\bar{X}$ 来估计总体期望 $E(X)$，即令 $E(X)=\bar{X}$，则有：
  $3 - 4\theta=\frac{9}{5}$
  移项可得：
  $4\theta=3-\frac{9}{5}$
  $4\theta=\frac{15 - 9}{5}=\frac{6}{5}$
  解得：
  $\theta=\frac{3}{10}$

（2）求 $\theta$ 的最大似然估计值

• 构造似然函数 $L(\theta)$：
  似然函数是样本取值的联合概率分布，对于离散型总体，似然函数 $L(\theta)=\prod_{i = 1}^{n}P(X = x_{i})$。
  已知样本观测值为 $1,2,1,3,2$，则：
  $L(\theta)=P(X = 1)P(X = 2)P(X = 1)P(X = 3)P(X = 2)=\theta\times(2\theta)\times\theta\times(1 - 3\theta)\times(2\theta)=4\theta^{4}(1 - 3\theta)$
• 构造对数似然函数 $\ell(\theta)$：
  为了方便求导，对似然函数取对数，得到对数似然函数 $\ell(\theta)=\ln L(\theta)$，则：
  $\ell(\theta)=\ln(4\theta^{4}(1 - 3\theta))=\ln 4 + 4\ln\theta+\ln(1 - 3\theta)$
• 求对数似然函数的导数并令其为 0：
  对 $\ell(\theta)$ 求关于 $\theta$ 的导数：
  $\frac{d\ell(\theta)}{d\theta}=\frac{4}{\theta}-\frac{3}{1 - 3\theta}$
  令 $\frac{d\ell(\theta)}{d\theta}=0$，即：
  $\frac{4}{\theta}-\frac{3}{1 - 3\theta}=0$
  通分可得：
  $\frac{4(1 - 3\theta)-3\theta}{\theta(1 - 3\theta)}=0$
  则分子 $4(1 - 3\theta)-3\theta = 0$，展开得：
  $4-12\theta-3\theta = 0$
  $4-15\theta = 0$
  解得：
  $\theta=\frac{4}{15}$