题目

设总体 X 的概率分布为:[ P(X=1)=theta, P(X=2)=2theta, P(X=3)=1-3theta ]其中 theta in (0, (1)/(3))。现测得样本观测值为 1,2,1,3,2，求:(1) theta 的矩估计值；(2) theta 的最大似然估计值。

设总体 $X$ 的概率分布为:

$P(X=1)=\theta, \quad P(X=2)=2\theta, \quad P(X=3)=1-3\theta$

其中 $\theta \in (0, \frac{1}{3})$。现测得样本观测值为 $1,2,1,3,2$，求:

(1) $\theta$ 的矩估计值；

(2) $\theta$ 的最大似然估计值。

题目解答

答案

(1) 矩估计值
总体期望 $E(X) = 1 \cdot \theta + 2 \cdot 2\theta + 3 \cdot (1 - 3\theta) = 3 - 4\theta$。
样本均值 $\bar{X} = \frac{1 + 2 + 1 + 3 + 2}{5} = \frac{9}{5}$。
令 $E(X) = \bar{X}$，解得 $\theta = \frac{3}{10}$。
答案： $\boxed{\frac{3}{10}}$

(2) 最大似然估计值
似然函数 $L(\theta) = \theta \cdot (2\theta) \cdot \theta \cdot (1 - 3\theta) \cdot (2\theta) = 4\theta^4(1 - 3\theta)$。
对数似然函数 $\ell(\theta) = \ln 4 + 4\ln\theta + \ln(1 - 3\theta)$。
求导得 $\frac{d\ell(\theta)}{d\theta} = \frac{4}{\theta} - \frac{3}{1 - 3\theta}$，令其为0解得 $\theta = \frac{4}{15}$。
答案： $\boxed{\frac{4}{15}}$