7.(单选题) 设随机变量X,Y相互独立，且均服从(0,1)均匀分布，则下列中服从均匀分布的是（）A. (X,Y)B. X+YC. X²D. X-Y

考查要点：本题主要考查二维均匀分布与随机变量函数分布的理解。关键在于判断各选项是否满足均匀分布的条件。

解题思路：

1. 二维均匀分布：若两个独立随机变量在各自区间上均匀分布，则它们的联合分布是否在某个区域上保持均匀。
2. 一维函数分布：通过变量变换（如平方、和、差）后的分布是否仍为均匀分布，需通过概率密度函数变换或卷积公式判断。

破题关键：

• 选项A：二维向量的联合分布是否在单位正方形上均匀。
• 选项B、D：和与差的分布是否为均匀（需用卷积公式分析）。
• 选项C：平方变换后的概率密度函数是否为常数。

选项A：$(X, Y)$

• 独立性与联合分布：
  $X$和$Y$独立，且均服从$U(0,1)$，则联合概率密度函数为：
  $f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y) = 1 \cdot 1 = 1 \quad \text{，其中} \ (x,y) \in [0,1] \times [0,1].$
  因此，$(X,Y)$在单位正方形$[0,1] \times [0,1]$上服从均匀分布。

选项B：$X + Y$

• 卷积公式：
  $X+Y$的分布为$X$和$Y$的卷积。计算得：
  $f_{X+Y}(z) = \begin{cases} z, & 0 \leq z \leq 1, \\ 2 - z, & 1 < z \leq 2. \end{cases}$
  分布为三角分布，非均匀。

选项C：$X^2$

• 变量变换法：
  设$Z = X^2$，则累积分布函数为：
  $F_Z(z) = P(X^2 \leq z) = P(X \leq \sqrt{z}) = \sqrt{z} \quad \text{，其中} \ 0 \leq z \leq 1.$
  求导得概率密度函数：
  $f_Z(z) = \frac{1}{2\sqrt{z}} \quad \text{，非均匀分布}。$

选项D：$X - Y$

• 卷积公式：
  $X-Y$的分布为：
  $f_{X-Y}(z) = \begin{cases} 1 + z, & -1 \leq z \leq 0, \\ 1 - z, & 0 < z \leq 1. \end{cases}$
  分布为三角分布，非均匀。