lambda x_1 + x_2 + x_3 = 02x_1 + x_2 + x_3 = 0x_1 - x_2 + 3x_3 = 0lambda neq ( ) 时，方程组只有零解A. 2B. 3C. 1D. 0

本题考查齐次线性方程组只有零解的条件，解题思路是根据齐次线性方程组的系数行列式与解的关系来求解。

对于齐次线性方程组$A\vec{x}=\vec{0}$（其中$A$为系数矩阵，$\vec{x}$为未知数向量，$\vec{0}$为零向量），当系数行列式$\vert A\vert\neq0$时，方程组只有零解。

已知方程组$\begin{cases}\lambda x_1 + x_2 + x_3 = 0\\2x_1 + x_2 + x_3 = 0\\x_1 - x_2 + 3x_3 = 0\end{cases}$，其系数矩阵$A = \begin{pmatrix}\lambda&1&1\\2&1&1\\1& -1&3\end{pmatrix}$。

接下来计算系数行列式$\vert A\vert$：
$\begin{align*} \vert A\vert&=\lambda\times\begin{vmatrix} 1&1\\ -1&3 \end{vmatrix}-1\times\begin{vmatrix} 2&1\\ 1&3 \end{vmatrix}+1\times\begin{vmatrix} 2&1\\ 1& -1 \end{vmatrix}\\ &=\lambda\times(1\times3 - 1\times(-1)) - 1\times(2\times3 - 1\times1) + 1\times(2\times(-1) - 1\times1)\\ &=\lambda\times(3 + 1) - 1\times(6 - 1) + 1\times(-2 - 1)\\ &=4\lambda - 5 - 3\\ &=4\lambda - 8 \end{align*}$

令$\vert A\vert\neq0$，即$4\lambda - 8\neq0$，解这个不等式：
$\begin{align*} 4\lambda - 8&\neq0\\ 4\lambda&\neq8\\ \lambda&\neq2 \end{align*}$

所以当$\lambda\neq2$时，方程组只有零解。