题目
某人家中，在时间间隔t(以小时计)内接到电话的次数X服从参数为2t的泊松分布． (1) 若他外出计划用时10分钟，问其间电话铃响一次的概率是多少? (2) 若他希望外出时没有电话的概率至少为0.5，问他外出应控制最长时间是多少?
某人家中，在时间间隔t(以小时计)内接到电话的次数X服从参数为2t的泊松分布．
(1) 若他外出计划用时10分钟，问其间电话铃响一次的概率是多少?
(2) 若他希望外出时没有电话的概率至少为0.5，问他外出应控制最长时间是多少?
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定泊松分布的参数
根据题目，电话次数X服从参数为2t的泊松分布，其中t是以小时为单位的时间间隔。因此，泊松分布的概率质量函数为 $P\{ X=k\} =\dfrac {{(2t)}^{k}{e}^{-2t}}{k!}$，其中k为电话次数。
步骤 2：计算10分钟内电话铃响一次的概率
将t=10分钟转换为小时，即t=10/60=1/6小时。此时，电话次数X服从参数为2t=1/3的泊松分布。因此，电话铃响一次的概率为 $P\{ X=1\} =\dfrac {1}{3}{e}^{-\dfrac {1}{3}}$。
步骤 3：计算没有电话的概率至少为0.5时的最长时间
设外出最长时间为t(小时)，则电话次数X服从参数为2t的泊松分布。没有电话的概率为 $P\{ X=0\} ={e}^{-2t}$。要使没有电话的概率至少为0.5，即要使 ${e}^{-2t}\geqslant 0.5$。解此不等式，得到 $t\leqslant \dfrac {1}{2}\ln 2$。
根据题目，电话次数X服从参数为2t的泊松分布，其中t是以小时为单位的时间间隔。因此，泊松分布的概率质量函数为 $P\{ X=k\} =\dfrac {{(2t)}^{k}{e}^{-2t}}{k!}$，其中k为电话次数。
步骤 2：计算10分钟内电话铃响一次的概率
将t=10分钟转换为小时，即t=10/60=1/6小时。此时，电话次数X服从参数为2t=1/3的泊松分布。因此，电话铃响一次的概率为 $P\{ X=1\} =\dfrac {1}{3}{e}^{-\dfrac {1}{3}}$。
步骤 3：计算没有电话的概率至少为0.5时的最长时间
设外出最长时间为t(小时)，则电话次数X服从参数为2t的泊松分布。没有电话的概率为 $P\{ X=0\} ={e}^{-2t}$。要使没有电话的概率至少为0.5，即要使 ${e}^{-2t}\geqslant 0.5$。解此不等式，得到 $t\leqslant \dfrac {1}{2}\ln 2$。