题目
设总体 X sim N(mu, 4)，当样本容量 n=9 时，测得样本均值 overline(x)=5，则未知参数 mu 的置信度为 0.95 的置信区间为()A. (5-1.65 times (4)/(9), 5+1.65 times (4)/(9))B. (5-1.96 times (2)/(3), 5+1.96 times (2)/(3))C. (5-1.65 times (2)/(3), 5+1.65 times (2)/(3))D. (5-1.96 times (4)/(9), 5+1.96 times (4)/(9))
设总体 $X \sim N(\mu, 4)$，当样本容量 $n=9$ 时，测得样本均值 $\overline{x}=5$，则未知参数 $\mu$ 的置信度为 0.95 的置信区间为()
A. $(5-1.65 \times \frac{4}{9}, 5+1.65 \times \frac{4}{9})$
B. $(5-1.96 \times \frac{2}{3}, 5+1.96 \times \frac{2}{3})$
C. $(5-1.65 \times \frac{2}{3}, 5+1.65 \times \frac{2}{3})$
D. $(5-1.96 \times \frac{4}{9}, 5+1.96 \times \frac{4}{9})$
题目解答
答案
B. $(5-1.96 \times \frac{2}{3}, 5+1.96 \times \frac{2}{3})$
解析
步骤 1：确定总体参数和样本信息
已知总体 $X \sim N(\mu, 4)$，样本容量 $n = 9$，样本均值 $\overline{x} = 5$，置信度为 0.95。总体标准差 $\sigma = \sqrt{4} = 2$。
步骤 2：确定置信度对应的 $z$ 值
置信度为 0.95，对应于标准正态分布的 $z_{0.025} = 1.96$。
步骤 3：计算置信区间
置信区间公式为：\[ \overline{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 5 \pm 1.96 \times \frac{2}{3} \]。
已知总体 $X \sim N(\mu, 4)$，样本容量 $n = 9$，样本均值 $\overline{x} = 5$，置信度为 0.95。总体标准差 $\sigma = \sqrt{4} = 2$。
步骤 2：确定置信度对应的 $z$ 值
置信度为 0.95，对应于标准正态分布的 $z_{0.025} = 1.96$。
步骤 3：计算置信区间
置信区间公式为：\[ \overline{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 5 \pm 1.96 \times \frac{2}{3} \]。