若 int_(1)^2 xf(x)dx = 2，则 int_(0)^3 f(sqrt(x+1))dx = ( ).A. 1B. 2C. 3D. 4

考查要点：本题主要考查定积分的换元法应用，以及通过变量替换将未知积分转化为已知条件的能力。

解题核心思路：

1. 变量替换：通过令$t = \sqrt{x+1}$，将原积分$\int_{0}^{3} f(\sqrt{x+1})dx$转化为关于$t$的积分形式。
2. 积分上下限调整：根据$x$的范围确定$t$的范围，简化积分区间。
3. 利用已知条件：将转化后的积分与已知条件$\int_{1}^{2} x f(x)dx = 2$关联，直接代入求解。

破题关键点：

• 正确选择替换变量，使得替换后的积分与已知条件形式一致。
• 准确计算微分$dx$和积分上下限，避免符号错误。

步骤1：变量替换
令$t = \sqrt{x+1}$，则$x = t^2 - 1$，对$x$求微分得：
$dx = 2t \, dt.$

步骤2：调整积分上下限
当$x = 0$时，$t = \sqrt{0+1} = 1$；当$x = 3$时，$t = \sqrt{3+1} = 2$。因此，积分上下限变为$t = 1$到$t = 2$。

步骤3：代入原积分
将$x$用$t$表示，$dx$替换为$2t \, dt$，原积分变为：
$\int_{0}^{3} f(\sqrt{x+1}) \, dx = \int_{1}^{2} f(t) \cdot 2t \, dt = 2 \int_{1}^{2} t f(t) \, dt.$

步骤4：利用已知条件
题目给出$\int_{1}^{2} x f(x) \, dx = 2$，积分变量符号不影响结果，因此：
$\int_{1}^{2} t f(t) \, dt = 2.$

步骤5：计算最终结果
代入得：
$2 \int_{1}^{2} t f(t) \, dt = 2 \times 2 = 4.$