题目

七、(6分)已知_(1)和|(X)_(2)的概率分布_(1)和|(X)_(2)_(1)和|(X)_(2)_(1)和|(X)_(2)_(1)和|(X)_(2)_(1)和|(X)_(2) -1 0 1 _(1)和|(X)_(2) 0 1_(1)和|(X)_(2) 1/4 1/2 1/4 _(1)和|(X)_(2) 1/2 1/2而且_(1)和|(X)_(2)。求:(1)随机变量_(1)和|(X)_(2)和_(1)和|(X)_(2)的联合分布;(2)问_(1)和|(X)_(2)和_(1)和|(X)_(2)是否独立?为什么?

七、(6分)已知的概率分布

-1 0 1 0 1

1/4 1/2 1/4 1/2 1/2

而且。求:

(1)随机变量和的联合分布;

(2)问和是否独立?为什么?

题目解答

答案

解:(1) 由题意知

,

从而我们有

X2

-1

1

P{X2=i}

1/4

1/4

1/2

1

1/2

1/2

P{X1=i}

1/4

1/2

1/4

…………………(4分)

(2) 由X和X的 联合分布知道

P{X1=-1,X2=1}=0≠P{X=-1}P{X=1}=1/8. …………………(2分)

从而可知X1和X2不独立。

解析

步骤 1：确定联合分布
根据题目条件，$P\{ X_1X_2=0\} =1$，这意味着$X_1$和$X_2$的乘积总是0。因此，$X_1$和$X_2$不能同时取非零值。根据$X_1$和$X_2$的边缘分布，我们可以确定联合分布。
步骤 2：计算联合概率
由于$X_1$和$X_2$的乘积总是0，我们可以推断出$X_1$和$X_2$的联合分布。当$X_1=-1$时，$X_2$必须为0；当$X_1=0$时，$X_2$可以是0或1；当$X_1=1$时，$X_2$必须为0。因此，我们可以计算出每个联合概率。
步骤 3：判断独立性
根据联合分布，我们可以判断$X_1$和$X_2$是否独立。如果$X_1$和$X_2$的联合概率等于它们边缘概率的乘积，则它们是独立的。否则，它们不是独立的。