题目
4.设总体X的概率密度为 f(x,theta)={}(1)/(theta)e^-(x)/(theta),x>0,0,xleq0.是来自总体X的样本.求参数theta的矩估计量和最大似然估计量.
4.设总体X的概率密度为 $f(x,\theta)=\left\{\begin{matrix}\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}},x>0,\\0,x\leq0.\end{matrix}\right.$,其中$\theta>0$为未知参数，$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是来自总体X的样本.求参数$\theta$的矩估计量和最大似然估计量.
题目解答
答案
矩估计量：
计算期望 $E(X) = \int_0^{+\infty} x \cdot \frac{1}{\theta} e^{-\frac{x}{\theta}} \, dx = \theta$。
令样本均值 $\overline{X} = E(X)$，得 $\hat{\theta} = \overline{X}$。
最大似然估计量：
似然函数 $L(\theta) = \frac{1}{\theta^n} e^{-\frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n X_i}$，取对数得 $\ln L(\theta) = -n \ln \theta - \frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n X_i$。
求导并令为零，解得 $\hat{\theta} = \overline{X}$。
答案：
$\boxed{\overline{X}}$