1.21如果随机变量X和Y满足D(X+Y)=D(X-Y)，则下列各结论正确的是A. D(Y)=0B. D(X)D(Y)=0C. X和Y相互独立D. X和Y不相关

考查要点：本题主要考查随机变量方差的性质及协方差与相关性的关系。
解题核心思路：利用方差公式展开$D(X+Y)$和$D(X-Y)$，通过等式联立求解协方差，进而判断变量间的关系。
破题关键点：

1. 方差公式展开：明确$D(X \pm Y) = D(X) + D(Y) \pm 2\text{Cov}(X,Y)$。
2. 等式联立：通过$D(X+Y) = D(X-Y)$消去相同项，得到协方差为零的结论。
3. 相关性判断：协方差为零等价于不相关，但不相关不一定独立。

根据方差性质，展开$D(X+Y)$和$D(X-Y)$：
$\begin{aligned}D(X+Y) &= D(X) + D(Y) + 2\text{Cov}(X,Y), \\D(X-Y) &= D(X) + D(Y) - 2\text{Cov}(X,Y).\end{aligned}$

由题设$D(X+Y) = D(X-Y)$，联立得：
$2\text{Cov}(X,Y) = -2\text{Cov}(X,Y) \implies 4\text{Cov}(X,Y) = 0 \implies \text{Cov}(X,Y) = 0.$

关键结论：

• 协方差$\text{Cov}(X,Y) = 0$，说明$X$和$Y$不相关。
• 不相关不一定独立，因此选项中“相互独立”不成立。
• $D(Y)=0$或$D(X)D(Y)=0$仅对应特殊情形（如变量为常数），但题目未限定此类条件，故排除。